Asal ideallerin birleşiminde yer alan ideal bir asal idealin içindedir

Question

Şunu göstermek istiyoruz:

Bir $R$ değişmeli birimli halkası için $\mathfrak{p_1},\mathfrak{p_2} \dots \mathfrak{p_n}$ asal idealler ve $\mathfrak{a}$ bir ideal olsun. Eğer  $\mathfrak{a} \subset \bigcup_{i=1}^{n} \mathfrak{p_i}$ ise bir $i \in \{1, \dots, n\}$ için $\mathfrak{a} \subset \mathfrak{p_i}$ olur. 

Kanıtı linkteki gibi. Önermenin kontrapozitifini tümevarım ile kanıtlıyoruz.

Yani $\mathfrak{a}  \not\subset \mathfrak{p_i} \quad \forall i \in \{1,\dots, n\} \implies \mathfrak{a} \not\subset \bigcup_{i=1}^{n} \mathfrak{p_i}$ gösteriyoruz. Kanıttaki inşayı bir türlü yapamıyorum mesela şöyle bir şey demek istiyorum:
 $\mathfrak{a}  \not\subset \mathfrak{p_i} \quad \forall i \in \{1,\dots, n\}$ ise o zaman bir $x \in \mathfrak{a}$ vardır öyle ki $x \notin \mathfrak{p_i} \quad \forall i$

ama teknik olarak bir yanlışlık olduğunu seziyorum.

Tane tane nasıl bir inşa yaptığımızı anlatabilir misiniz?