Gerek Kısmı: d1T∼d2,ϵ>0 ve x∈X olsun.
d1T∼d2⇒τd1=τd2(ϵ>0)(x∈X)⇒Bd1(x,ϵ)∈τd1}⇒x∈Bd1(x,ϵ)∈τd2
⇒(∃δ>0)(Bd2(x,δ)⊆Bd1(x,ϵ)).
Benzer şekilde
d1T∼d2⇒τd1=τd2(ϵ>0)(x∈X)⇒Bd2(x,ϵ)∈τd2}⇒x∈Bd2(x,ϵ)∈τd1
⇒(∃δ>0)(Bd1(x,δ)⊆Bd2(x,ϵ)).
−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−
Yeter Kısmı: d1T∼d2 olduğunu göstermek için τd1=τd2 olduğunu göstermeliyiz. Bunun için de τd1⊆τd2 ve τd2⊆τd1 olduğunu göstermek gerekli ve yeterli olacaktır.
A∈τd1⇒(∀a∈A)(∃ϵ>0)(Bd1(a,ϵ)⊆A)Hipotez}⇒
⇒(∀a∈A)(∃δ>0)(Bd2(a,δ)⊆Bd1(a,ϵ)⊆A)
⇒A∈τd2
O halde τd1⊆τd2…(1)
d1T∼d2 ve A∈τd2 olsun.
A∈τd2⇒(∀a∈A)(∃ϵ>0)(Bd2(a,ϵ)⊆A)Hipotez}⇒
⇒∀a∈A)(∃δ>0)(Bd1(a,δ)⊆Bd2(a,ϵ)⊆A)
⇒A∈τd1
O halde τd2⊆τd1…(2)
(1),(2)⇒τd1=τd2⇒d1T∼d2.