Loading [MathJax]/jax/output/HTML-CSS/jax.js
Akademisyenler öncülüğünde matematik/fizik/bilgisayar bilimleri soru cevap platformu
0 beğenilme 0 beğenilmeme
1.1k kez görüntülendi
(X,d1),(X,d2) metrik uzaylar olmak üzere
d1Td2
(ϵ>0)(xX)(δ1,δ2>0)[Bd1(x,δ1)Bd2(x,ϵ)Bd2(x,δ2)Bd1(x,ϵ)]

Tanım: (X,d1),(X,d2) metrik uzaylar olmak üzere
d1Td2:⇔τd1=τd2

Not: (X,d) metrik uzay ve AX olmak üzere
A, d-açık:⇔(aA)(ϵ>0)(Bd(a,ϵ)A)
τd:={A|(AX)(A, d-açık)}
Lisans Matematik kategorisinde (11.5k puan) tarafından 
tarafından düzenlendi | 1.1k kez görüntülendi
Yani aynı açıkları üreten metriklere denk metrikler deniyor.

 X üzerindeki d1 ve d2 metriklerinin denk olması X kümesindeki bir (xn) dizisi için limd1(xn,x)=0limd2(xn,x)=0 olarak da tanımlanıyormuş. Ayrıca birim fonksiyonun I:(X,d1)(X,d2) homeomorfizma olmasıyla d1 ve d2 metriklerinin denk olması aynı şeymiş.

(X,d1) ve (X,d2) metrik uzayları homeomorfik olsa d1 ve d2 metrikleri denk olur mu?
Alper hocam sorunuzun yanıtı sitede var diye hatırlıyorum. Bulamazsanız yine yazışırız.

Burada birim fonksiyonun homeomorfizma olması ile denk metrikler arasındaki ilişki verilmiş, tekrar etmiş oldum. Sorumun yanıtı olumsuz sanırım; sitede bulmaya çalışayım. Teşekkürler.

1 cevap

0 beğenilme 0 beğenilmeme

Gerek Kısmı: d1Td2,ϵ>0 ve xX olsun. 

d1Td2τd1=τd2(ϵ>0)(xX)Bd1(x,ϵ)τd1}xBd1(x,ϵ)τd2

 

(δ>0)(Bd2(x,δ)Bd1(x,ϵ)).

 

Benzer şekilde 

d1Td2τd1=τd2(ϵ>0)(xX)Bd2(x,ϵ)τd2}xBd2(x,ϵ)τd1

 

(δ>0)(Bd1(x,δ)Bd2(x,ϵ)).

Yeter Kısmı: d1Td2 olduğunu göstermek için τd1=τd2 olduğunu göstermeliyiz. Bunun için de τd1τd2 ve τd2τd1 olduğunu göstermek gerekli ve yeterli olacaktır.

Aτd1(aA)(ϵ>0)(Bd1(a,ϵ)A)Hipotez}

(aA)(δ>0)(Bd2(a,δ)Bd1(a,ϵ)A)

Aτd2

O halde τd1τd2(1)

 

d1Td2 ve Aτd2 olsun.

Aτd2(aA)(ϵ>0)(Bd2(a,ϵ)A)Hipotez}

aA)(δ>0)(Bd1(a,δ)Bd2(a,ϵ)A)

Aτd1

O halde τd2τd1(2)

(1),(2)τd1=τd2d1Td2.

(11.5k puan) tarafından 
tarafından düzenlendi
20,312 soru
21,868 cevap
73,589 yorum
2,859,804 kullanıcı