Processing math: 28%
Akademisyenler öncülüğünde matematik/fizik/bilgisayar bilimleri soru cevap platformu
0 beğenilme 0 beğenilmeme
1.2k kez görüntülendi
(X,d1),(X,d2) metrik uzaylar olmak üzere
d1Td2
(ϵ>0)(xX)(δ1,δ2>0)[Bd1(x,δ1)Bd2(x,ϵ)Bd2(x,δ2)Bd1(x,ϵ)]

Tanım: (X,d1),(X,d2) metrik uzaylar olmak üzere
d1Td2:⇔τd1=τd2

Not: (X,d) metrik uzay ve AX olmak üzere
A, d-açık:⇔(aA)(ϵ>0)(Bd(a,ϵ)A)
τd:={A|(AX)(A, d-açık)}
Lisans Matematik kategorisinde (11.5k puan) tarafından 
tarafından düzenlendi | 1.2k kez görüntülendi
Yani aynı açıkları üreten metriklere denk metrikler deniyor.

 X üzerindeki d1 ve d2 metriklerinin denk olması X kümesindeki bir (xn) dizisi için lim olarak da tanımlanıyormuş. Ayrıca birim fonksiyonun I:(X,d_1)\to(X,d_2) homeomorfizma olmasıyla d_1 ve d_2 metriklerinin denk olması aynı şeymiş.

(X,d_1) ve (X,d_2) metrik uzayları homeomorfik olsa d_1 ve d_2 metrikleri denk olur mu?
Alper hocam sorunuzun yanıtı sitede var diye hatırlıyorum. Bulamazsanız yine yazışırız.

Burada birim fonksiyonun homeomorfizma olması ile denk metrikler arasındaki ilişki verilmiş, tekrar etmiş oldum. Sorumun yanıtı olumsuz sanırım; sitede bulmaya çalışayım. Teşekkürler.

1 cevap

0 beğenilme 0 beğenilmeme

Gerek Kısmı: d_1\overset{T}{\sim} d_2, \epsilon>0 ve x\in X olsun. 

\left.\begin{array}{rr}d_1\overset{T}{\sim} d_2\Rightarrow \tau_{d_1}=\tau_{d_2} \\ \\ (\epsilon>0)(x\in X)\Rightarrow B^{d_1}(x,\epsilon)\in \tau_{d_1} \end{array}\right\}\Rightarrow x\in B^{d_1}(x,\epsilon)\in \tau_{d_2}

 

\Rightarrow (\exists \delta>0)(B^{d_2}(x,\delta)\subseteq B^{d_1}(x,\epsilon)).

 

Benzer şekilde 

\left.\begin{array}{rr}d_1\overset{T}{\sim} d_2\Rightarrow \tau_{d_1}=\tau_{d_2} \\ \\ (\epsilon>0)(x\in X)\Rightarrow B^{d_2}(x,\epsilon)\in \tau_{d_2} \end{array}\right\}\Rightarrow x\in B^{d_2}(x,\epsilon)\in \tau_{d_1}

 

\Rightarrow (\exists \delta>0)(B^{d_1}(x,\delta)\subseteq B^{d_2}(x,\epsilon)).

-----------------------------------

Yeter Kısmı: d_1\overset{T}{\sim} d_2 olduğunu göstermek için \tau_{d_1}=\tau_{d_2} olduğunu göstermeliyiz. Bunun için de \tau_{d_1}\subseteq \tau_{d_2} ve \tau_{d_2}\subseteq \tau_{d_1} olduğunu göstermek gerekli ve yeterli olacaktır.

\left.\begin{array}{rr} A\in \tau_{d_1}\Rightarrow (\forall a\in A)(\exists \epsilon>0)(B^{d_1}(a,\epsilon)\subseteq A) \\ \\ \text{Hipotez} \end{array}\right\}\Rightarrow

\Rightarrow (\forall a\in A)(\exists \delta>0)(B^{d_2}(a,\delta)\subseteq B^{d_1}(a,\epsilon)\subseteq A)

\Rightarrow A\in \tau_{d_2}

O halde \tau_{d_1}\subseteq \tau_{d_2}\ldots (1)

 

d_1\overset{T}{\sim} d_2 ve A\in \tau_{d_2} olsun.

\left.\begin{array}{rr} A\in \tau_{d_2}\Rightarrow (\forall a\in A)(\exists \epsilon>0)(B^{d_2}(a,\epsilon)\subseteq A) \\ \\ \text{Hipotez} \end{array}\right\}\Rightarrow

\Rightarrow \forall a\in A)(\exists \delta>0)(B^{d_1}(a,\delta)\subseteq B^{d_2}(a,\epsilon)\subseteq A)

\Rightarrow A\in \tau_{d_1}

O halde \tau_{d_2}\subseteq \tau_{d_1}\ldots (2)

(1),(2)\Rightarrow \tau_{d_1}=\tau_{d_2}\Rightarrow d_1\overset{T}{\sim} d_2.

(11.5k puan) tarafından 
tarafından düzenlendi
20,313 soru
21,868 cevap
73,590 yorum
2,865,326 kullanıcı