Question

$(X,\tau)$ topolojik uzay olmak üzere $$A,B\subseteq X\Rightarrow D(A\cup B)=D(A)\cup D(B)$$ olduğunu gösteriniz.

Not: $D(A):=\{x|x, A\text{'nın yığılma noktası}\}$

Comments

$$A,B\subseteq X\Rightarrow D(A\cup B)=D(A)\cup D(B)$$

Sadece bu haliyle bile doğru geldi bana."tabi X, $\mathbb R$'ye eşit veya altkümesi ise"

Ama A ve B'nin nasıl oluştugunu bilmeden olmaz gibi, ama eğer A ve B aralık gibi kümelerse veya sonlu açık aralıgın birleşimi ise olur gibi.

Answer 1

Bu ispat olarak kabul edilmezse fikir olarak diyelim: (Sinav kagidina yazilmayacak bir ispat galiba)

Bir noktaya $A$ ya da $B$ uzerinden yigilabiliyorsak bariz olarak $A\cup B$ uzerinden de yigilabiliriz.

$A\cup B$ ile yigildigimiz ve $A$ ile yigilamadimiz bir nokta alalim. Demek ki belirli bir yigilma mesafesinden sonra sadece $B$ kumesinden eleman elde etmek zorunda kalacagiz.  Yani o naktaya $B$ ile yigilabilecegiz.

____

Ek1:  Peki , belirli bir mesafeden oncesinde ne yapacagiz?

Burasi aslinda onemli degil. Belirli bir mesafeden sonra alacaginiz herhangi bir eleman daha genis olan belirli bir mesafeden onceki aralikta da olur. Zaten bu nedenle onemli degil. 

____

Ek2: Bu ispat metrik uzaylari icin gecerli. 
___

Ek3: Mesafeyi atarak ve yigilma noktasinin tanimini kullanarak, fikir ile, genel ispata cevirmek mumkun.
___

Ek4: Kumeleri $A_1, \cdots, A_n$ olarak dusunursek (tumevarim ile) $$D\left(\bigcup_{i=1}^nA_i\right)=\bigcup_{i=1}^nD(A_i)$$ olur.
___

Ek5: Peki sonsuz kume icin ne olur? Yukaridaki fikir isler mi?

Answer 2

$(X,\tau)$ topolojik uzay ve $A,B\subseteq X$ olsun.

$$\left.\begin{array}{rr} A\subseteq A\cup B\Rightarrow D(A)\subseteq D(A\cup B) \\ \\ B\subseteq A\cup B\Rightarrow D(B)\subseteq D(A\cup B)\end{array}\right\}\Rightarrow D(A)\cup D(B)\subseteq D(A\cup B)\ldots (1)$$

$$x\notin D(A)\cup D(B)$$

$$\Rightarrow$$

$$x\notin D(A)\wedge x\notin D(B)$$

$$\Rightarrow$$

$$(\exists U\in\mathcal{U}(x))((U\setminus\{x\})\cap A=\emptyset)\wedge (\exists V\in\mathcal{U}(x))((V\setminus\{x\})\cap B=\emptyset)$$

$$\Rightarrow$$

$$(U\cap V\in\mathcal{U}(x))([(U\setminus\{x\})\cap A]\cup [(V\setminus\{x\})\cap B]=\emptyset)$$

$$\Rightarrow$$

$$(U\cap V\in\mathcal{U}(x))([((U\cap V)\setminus\{x\})\cap A]\cup [((U\cap V)\setminus\{x\})\cap B]\subseteq [(U\setminus\{x\})\cap A]\cup [(V\setminus\{x\})\cap B]=\emptyset)$$

$$\Rightarrow$$

$$(U\cap V\in\mathcal{U}(x))([((U\cap V)\setminus\{x\})\cap A]\cup [((U\cap V)\setminus\{x\})\cap B]=\emptyset)$$

$$\Rightarrow$$

$$(U\cap V\in\mathcal{U}(x))([((U\cap V)\setminus\{x\})\cap (A\cup B)]=\emptyset)$$

$$\Rightarrow$$

$$x\notin D(A\cup B)$$

Buradan  $$D(A\cup B)\subseteq D(A)\cup D(B)\ldots (2)$$ elde edilir. O halde

$$(1),(2)\Rightarrow D(A\cup B)=D(A)\cup D(B)$$ bulunur.