Olaya tarihsel bakalım, e^x'keşfedilmeden e keşfedilmişti. "bileşik faiz hesabı" araştırılırken tesadüfen bulundu.O zaman e^x'i sadece e'nin \lim\limits_{n\to \infty}\left(1+\dfrac1n \right)^n tanımını ve bunun gibi elementer yöntemleri kullanarak bulalım.
Aradığımız sonuç(\forall x\in\mathbb N):
\lim\limits_{n\to\infty}\left(1+\dfrac x n\right)^n=e^x
Aşağıda çözüm verilmiştir ancak merak ettiğim konu, başka hangi yöntemlerle çözebilirdik?Taylor serileri?Cebirsel oynamalar değiştirmeler vs. ve soruya sadece soru degil, bilgi paylaşımı olarak da bakabiliriz.
/////////////////////////////////////////////////
METOD* 1:
\left(1+\dfrac x n\right)^n\le \left(1+\dfrac {x}{xn}\right)^{xn}\tag1
olduğundan (aşağıda ispatı var.)
ve
\left(1+\dfrac 1 n\right)^n\le e \tag2
olduğundan (dizi artan ve üstten "e" ile sınırlı)
(1) ve (2) birleştirilirse;
\left(1+\dfrac x n\right)^n\le \left(1+\dfrac 1 n\right)^{nx} = \left[\left(1+\dfrac 1 n\right)^n\right]^x\le e^x
olduğundan dolayı \left(\left(1+\dfrac x n\right)^n\right)_n dizisi üstten sınırlı ve monoton artan olduğundan dizinin limiti vardır.O zaman bu limiti bulalım geriye kalan tek şey şu eşitliğin doğruluğunu göstermek;
\lim\limits_{n\to \infty}\left(1+\dfrac x n\right)^n=\lim\limits_{n\to \infty}\left[\left(1+\dfrac x n\right)^{n/x}\right]^x=\left[\lim\limits_{n\to \infty}\left(1+\dfrac x n\right)^{n/x}\right]^x=e^x
n=xm alırsak, \left(\left(1+\dfrac x n\right)^n\right)_n dizisi için bir \left(\left[\left(1+\dfrac 1 m\right)^m\right]^x\right)_m altdizisi buluruz.
\text{Yakınsak dizilerin altdizileri de yakınsaktır ve aynı limite yakınsarlar.}\tag3
Bu teoremden dolayı ;
\lim\limits_{m\to\infty}\left[\left(1+\dfrac 1 m\right)^m\right]^x=\left[\lim\limits_{m\to\infty}\left(1+\dfrac 1 m\right)^m\right]^x=e^x=\lim\limits_{n\to\infty} \left(1+\dfrac x n\right)^n\tag4
Q.E.D.\quad \Box
/////////////////////////////////////////////////
Açıklamalar:
Açıklama (1):
\left(1+\dfrac x n\right)^n\le \left(1+\dfrac {1}{n}\right)^{xn}
Olur çünki p\ge 1\in\mathbb Q ve x\ge 0 iken 1+px\le (1+x)^polur.
1+px\le (1+x)^p bernoulli eşitsizliği.
-------------------------
Açıklama (2):
x_n=\left(1+\dfrac1n\right)^n ve y_n=\left(1+\dfrac1n\right)^{n+1} olsun,
(x_n)_n monoton artan ve (y_n)_n monoton azalan olduğundan ve 2<x_n\le y_n <4 olduğundan 2 dizinin de limiti vardır, x_n'in limitine x ve y_n'kine y dersek;
2<x_n\le x\le y\le y_n <4
ve
\lim\limits_{n\to\infty}\left(1+\dfrac1n\right)^n=x=y=\lim\limits_{n\to\infty}\left(1+\dfrac1n\right)^{n}.\underbrace{\lim\limits_{n\to\infty}\left(1+\dfrac1n\right)}_1
x=y olur ve bu limit e diye adlandırılır.(x=y=e)
-------------------------
Açıklama (3):
\epsilon>0 verilsin, öyle bir n>N\in\mathbb N göstergeci vardırki, eğer (x_n)_n dizisi bir a reel sayısına yakınsıyorsa;
|x_n-a|<\epsilonHer \epsilon için sağlanır.
f(n):\mathbb N\to \mathbb N monoton artan bir dizi ise (f(n)\ge n)
(x_{f(n)})_n alt dizisi de aynı a sayısına yakınsar çünki f(n)\ge n \ge N\in \mathbb N göstergeci bulunur.
-------------------------
Açıklama (4):
\left[\lim\limits_{m\to\infty}\left(1+\dfrac 1 m\right)^m\right] limiti vardır ve e'dir dolayısıyla limit kuralları gereği x dereceden üst alırsak limit dışarı çıkabilir ve tersi de doğrudur.(limit varken...)
/////////////////////////////////////////////////
METOD* 2(DENEME):
\lim\limits_{n\to\infty}\left(1+\dfrac x n\right)^n 'nin neye benzediğini bulalım;
\left(1+\dfrac x n\right)^n=u diyelim,
nln\left(1+\dfrac x n\right)=lnu\quad\to\quad e^{\frac{lnu}{n}}=1+\dfrac x n\toe^{\frac{lnu}{n}}-\dfrac{x-1}{n}=1+\dfrac 1 n\to\left(e^{\frac{lnu}{n}}-\dfrac{x-1}{n}\right)^n=\left(1+\dfrac 1 n\right)^n
Limit alırsak,
\lim\limits_{n\to\infty}\left(e^{\frac{lnu}{n}}-\dfrac{x-1}{n}\right)^n=\lim\limits_{n\to\infty}\left(1+\dfrac 1 n\right)^n
Sağ taraf e'nin tanımı ve sol tarafta binom yaparsak;
\lim\limits_{n\to\infty}\left(e^{\frac{lnu}{n}}-\dfrac{x-1}{n}\right)^n=\lim\limits_{n\to\infty}\left(u\right)+\lim\limits_{n\to\infty}\left(\displaystyle\sum_{i=1}^\infty\dbinom{n}{i}\left(e^{\frac{lnu}{n}}\right)^{n-i}\left(-\dfrac{x-1}{n}\right)^i\right)
Burada en sağ tarafa başta 0 diyesim geldi ama diyemiyoruz e^x=e geliyor, bu son kısmı analiz edemedim.
/////////////////////////////////////////////////
METOD* 3(DENEME):
Taylor serileri o zamanlar biliniyordu, e^x diye bir fonksiyon için sonsuz polinom analızı yapılırsa e^x=\displaystyle\sum_{i=0}^\infty\dfrac{x^i}{i!}
ama burada da şunları göstermek çok zorlaşıyor;
e^x=\displaystyle\sum_{i=0}^\infty\dfrac{x^i}{i!}=\left(\displaystyle\sum_{i=0}^\infty\dfrac{1}{i!}\right)^x
/////////////////////////////////////////////////