Processing math: 2%
Akademisyenler öncülüğünde matematik/fizik/bilgisayar bilimleri soru cevap platformu
3 beğenilme 0 beğenilmeme
1.7k kez görüntülendi

Olaya tarihsel bakalım, e^x'keşfedilmeden e keşfedilmişti. "bileşik faiz hesabı" araştırılırken tesadüfen bulundu.O zaman e^x'i sadece e'nin \lim\limits_{n\to \infty}\left(1+\dfrac1n \right)^n tanımını ve bunun gibi elementer yöntemleri kullanarak bulalım.

Aradığımız sonuç(\forall x\in\mathbb N):
\lim\limits_{n\to\infty}\left(1+\dfrac x n\right)^n=e^x

Aşağıda çözüm verilmiştir ancak merak ettiğim konu, başka hangi yöntemlerle çözebilirdik?Taylor serileri?Cebirsel oynamalar değiştirmeler vs. ve soruya sadece soru degil, bilgi paylaşımı olarak da bakabiliriz.

/////////////////////////////////////////////////


METOD* 1:

\left(1+\dfrac x n\right)^n\le \left(1+\dfrac {x}{xn}\right)^{xn}\tag1

olduğundan (aşağıda ispatı var.)

ve

\left(1+\dfrac 1 n\right)^n\le e  \tag2

olduğundan (dizi artan ve üstten "e" ile sınırlı)

(1)  ve  (2) birleştirilirse;

\left(1+\dfrac x n\right)^n\le \left(1+\dfrac 1 n\right)^{nx} = \left[\left(1+\dfrac 1 n\right)^n\right]^x\le e^x

olduğundan dolayı  \left(\left(1+\dfrac x n\right)^n\right)_n dizisi üstten sınırlı ve monoton artan olduğundan dizinin limiti vardır.O zaman bu limiti bulalım geriye kalan tek şey şu eşitliğin doğruluğunu göstermek;

\lim\limits_{n\to \infty}\left(1+\dfrac x n\right)^n=\lim\limits_{n\to \infty}\left[\left(1+\dfrac x n\right)^{n/x}\right]^x=\left[\lim\limits_{n\to \infty}\left(1+\dfrac x n\right)^{n/x}\right]^x=e^x

 
n=xm alırsak, \left(\left(1+\dfrac x n\right)^n\right)_n dizisi için bir \left(\left[\left(1+\dfrac 1 m\right)^m\right]^x\right)_m altdizisi buluruz.
\text{Yakınsak dizilerin altdizileri de yakınsaktır ve aynı limite yakınsarlar.}\tag3

Bu teoremden dolayı ;

\lim\limits_{m\to\infty}\left[\left(1+\dfrac 1 m\right)^m\right]^x=\left[\lim\limits_{m\to\infty}\left(1+\dfrac 1 m\right)^m\right]^x=e^x=\lim\limits_{n\to\infty} \left(1+\dfrac x n\right)^n\tag4

Q.E.D.\quad \Box

/////////////////////////////////////////////////


Açıklamalar:

Açıklama (1):
\left(1+\dfrac x n\right)^n\le \left(1+\dfrac {1}{n}\right)^{xn}
Olur çünki p\ge 1\in\mathbb Q ve x\ge 0 iken 1+px\le (1+x)^polur.

1+px\le (1+x)^p  bernoulli eşitsizliği.
-------------------------


Açıklama (2):

x_n=\left(1+\dfrac1n\right)^n  ve  y_n=\left(1+\dfrac1n\right)^{n+1}  olsun,

(x_n)_n monoton artan ve (y_n)_n monoton azalan olduğundan ve 2<x_n\le y_n <4 olduğundan 2 dizinin de limiti vardır, x_n'in limitine x ve y_n'kine y dersek;

2<x_n\le x\le y\le y_n <4

ve

\lim\limits_{n\to\infty}\left(1+\dfrac1n\right)^n=x=y=\lim\limits_{n\to\infty}\left(1+\dfrac1n\right)^{n}.\underbrace{\lim\limits_{n\to\infty}\left(1+\dfrac1n\right)}_1

x=y olur ve bu limit e diye adlandırılır.(x=y=e)

-------------------------


Açıklama (3):

\epsilon>0 verilsin, öyle bir n>N\in\mathbb N göstergeci vardırki, eğer (x_n)_n dizisi bir a reel sayısına yakınsıyorsa; 

|x_n-a|<\epsilonHer \epsilon için sağlanır.

f(n):\mathbb N\to \mathbb N monoton artan bir dizi ise (f(n)\ge n)

(x_{f(n)})_n alt dizisi de aynı a sayısına yakınsar çünki f(n)\ge n \ge N\in \mathbb N göstergeci bulunur.

-------------------------

Açıklama (4):

\left[\lim\limits_{m\to\infty}\left(1+\dfrac 1 m\right)^m\right]  limiti vardır ve e'dir dolayısıyla limit kuralları gereği x dereceden üst alırsak limit dışarı çıkabilir ve tersi de doğrudur.(limit varken...)

/////////////////////////////////////////////////

METOD* 2(DENEME):

\lim\limits_{n\to\infty}\left(1+\dfrac x n\right)^n 'nin neye benzediğini bulalım;

\left(1+\dfrac x n\right)^n=u diyelim,

nln\left(1+\dfrac x n\right)=lnu\quad\to\quad e^{\frac{lnu}{n}}=1+\dfrac x n\toe^{\frac{lnu}{n}}-\dfrac{x-1}{n}=1+\dfrac 1 n\to\left(e^{\frac{lnu}{n}}-\dfrac{x-1}{n}\right)^n=\left(1+\dfrac 1 n\right)^n

Limit alırsak,
\lim\limits_{n\to\infty}\left(e^{\frac{lnu}{n}}-\dfrac{x-1}{n}\right)^n=\lim\limits_{n\to\infty}\left(1+\dfrac 1 n\right)^n

Sağ taraf e'nin tanımı ve sol tarafta binom yaparsak;


\lim\limits_{n\to\infty}\left(e^{\frac{lnu}{n}}-\dfrac{x-1}{n}\right)^n=\lim\limits_{n\to\infty}\left(u\right)+\lim\limits_{n\to\infty}\left(\displaystyle\sum_{i=1}^\infty\dbinom{n}{i}\left(e^{\frac{lnu}{n}}\right)^{n-i}\left(-\dfrac{x-1}{n}\right)^i\right)
Burada en sağ tarafa başta 0 diyesim geldi ama diyemiyoruz e^x=e geliyor, bu son kısmı analiz edemedim.

/////////////////////////////////////////////////
METOD* 3(DENEME):

Taylor serileri o zamanlar biliniyordu, e^x diye bir fonksiyon için sonsuz polinom analızı yapılırsa e^x=\displaystyle\sum_{i=0}^\infty\dfrac{x^i}{i!}

ama burada da şunları göstermek çok zorlaşıyor;

e^x=\displaystyle\sum_{i=0}^\infty\dfrac{x^i}{i!}=\left(\displaystyle\sum_{i=0}^\infty\dfrac{1}{i!}\right)^x

/////////////////////////////////////////////////



Lisans Matematik kategorisinde (7.9k puan) tarafından  | 1.7k kez görüntülendi
20,333 soru
21,889 cevap
73,624 yorum
3,083,143 kullanıcı