$e$'nin limit tanımını kullanarak $e^x$ genel formu bulmak. $\lim\limits_{n\to\infty}\left(1+\dfrac x n\right)^n=e^x$

Question

Olaya tarihsel bakalım, $e^x$'keşfedilmeden $e$ keşfedilmişti. "bileşik faiz hesabı" araştırılırken tesadüfen bulundu.O zaman $e^x$'i sadece $e$'nin $$\lim\limits_{n\to \infty}\left(1+\dfrac1n \right)^n$$ tanımını ve bunun gibi elementer yöntemleri kullanarak bulalım.

Aradığımız sonuç($\forall x\in\mathbb N$):
$$\lim\limits_{n\to\infty}\left(1+\dfrac x n\right)^n=e^x$$

Aşağıda çözüm verilmiştir ancak merak ettiğim konu, başka hangi yöntemlerle çözebilirdik?Taylor serileri?Cebirsel oynamalar değiştirmeler vs. ve soruya sadece soru degil, bilgi paylaşımı olarak da bakabiliriz.

$$/////////////////////////////////////////////////$$

$METOD* 1$:

$$\left(1+\dfrac x n\right)^n\le \left(1+\dfrac {x}{xn}\right)^{xn}\tag1$$

olduğundan (aşağıda ispatı var.)

ve

$$\left(1+\dfrac 1 n\right)^n\le e  \tag2$$

olduğundan (dizi artan ve üstten "e" ile sınırlı)

$(1)$  ve  $(2)$ birleştirilirse;

$$\left(1+\dfrac x n\right)^n\le \left(1+\dfrac 1 n\right)^{nx} = \left[\left(1+\dfrac 1 n\right)^n\right]^x\le e^x$$

olduğundan dolayı  $\left(\left(1+\dfrac x n\right)^n\right)_n$ dizisi üstten sınırlı ve monoton artan olduğundan dizinin limiti vardır.O zaman bu limiti bulalım geriye kalan tek şey şu eşitliğin doğruluğunu göstermek;

$$\lim\limits_{n\to \infty}\left(1+\dfrac x n\right)^n=\lim\limits_{n\to \infty}\left[\left(1+\dfrac x n\right)^{n/x}\right]^x=\left[\lim\limits_{n\to \infty}\left(1+\dfrac x n\right)^{n/x}\right]^x=e^x$$

 
$n=xm$ alırsak, $\left(\left(1+\dfrac x n\right)^n\right)_n$ dizisi için bir $\left(\left[\left(1+\dfrac 1 m\right)^m\right]^x\right)_m$ altdizisi buluruz.
$$\text{Yakınsak dizilerin altdizileri de yakınsaktır ve aynı limite yakınsarlar.}\tag3$$

Bu teoremden dolayı ;

$$\lim\limits_{m\to\infty}\left[\left(1+\dfrac 1 m\right)^m\right]^x=\left[\lim\limits_{m\to\infty}\left(1+\dfrac 1 m\right)^m\right]^x=e^x=\lim\limits_{n\to\infty} \left(1+\dfrac x n\right)^n\tag4$$

$$Q.E.D.\quad \Box$$

$$/////////////////////////////////////////////////$$

Açıklamalar:

$Açıklama (1):$
$$\left(1+\dfrac x n\right)^n\le \left(1+\dfrac {1}{n}\right)^{xn}$$
Olur çünki $p\ge 1\in\mathbb Q$ ve $x\ge 0$ iken $$1+px\le (1+x)^p$$ olur.

$1+px\le (1+x)^p$  bernoulli eşitsizliği.
$$-------------------------$$

$Açıklama (2):$

$x_n=\left(1+\dfrac1n\right)^n$  ve  $y_n=\left(1+\dfrac1n\right)^{n+1}$  olsun,

$(x_n)_n$ monoton artan ve $(y_n)_n$ monoton azalan olduğundan ve $2<x_n\le y_n <4$ olduğundan $2$ dizinin de limiti vardır, $x_n$'in limitine $x$ ve $y_n$'kine $y$ dersek;

$$2<x_n\le x\le y\le y_n <4$$

ve

$$\lim\limits_{n\to\infty}\left(1+\dfrac1n\right)^n=x=y=\lim\limits_{n\to\infty}\left(1+\dfrac1n\right)^{n}.\underbrace{\lim\limits_{n\to\infty}\left(1+\dfrac1n\right)}_1$$

$x=y$ olur ve bu limit $e$ diye adlandırılır.($x=y=e$)

$$-------------------------$$

$Açıklama (3):$

$\epsilon>0$ verilsin, öyle bir $n>N\in\mathbb N$ göstergeci vardırki, eğer $(x_n)_n$ dizisi bir $a$ reel sayısına yakınsıyorsa; 

$$|x_n-a|<\epsilon$$ Her $\epsilon$ için sağlanır.

$f(n):\mathbb N\to \mathbb N$ monoton artan bir dizi ise ($f(n)\ge n$)

$(x_{f(n)})_n$ alt dizisi de aynı $a$ sayısına yakınsar çünki $f(n)\ge n \ge N\in \mathbb N$ göstergeci bulunur.

$$-------------------------$$

$Açıklama (4):$

$\left[\lim\limits_{m\to\infty}\left(1+\dfrac 1 m\right)^m\right]$  limiti vardır ve $e$'dir dolayısıyla limit kuralları gereği $x$ dereceden üst alırsak limit dışarı çıkabilir ve tersi de doğrudur.(limit varken...)

$$/////////////////////////////////////////////////$$

$METOD* 2(DENEME)$:

$$\lim\limits_{n\to\infty}\left(1+\dfrac x n\right)^n$$ 'nin neye benzediğini bulalım;

$$\left(1+\dfrac x n\right)^n=u$$ diyelim,

$$nln\left(1+\dfrac x n\right)=lnu\quad\to\quad e^{\frac{lnu}{n}}=1+\dfrac x n$$ $$\to$$ $$e^{\frac{lnu}{n}}-\dfrac{x-1}{n}=1+\dfrac 1 n$$ $$\to$$ $$\left(e^{\frac{lnu}{n}}-\dfrac{x-1}{n}\right)^n=\left(1+\dfrac 1 n\right)^n$$

Limit alırsak,
$$\lim\limits_{n\to\infty}\left(e^{\frac{lnu}{n}}-\dfrac{x-1}{n}\right)^n=\lim\limits_{n\to\infty}\left(1+\dfrac 1 n\right)^n$$

Sağ taraf $e$'nin tanımı ve sol tarafta binom yaparsak;


$$\lim\limits_{n\to\infty}\left(e^{\frac{lnu}{n}}-\dfrac{x-1}{n}\right)^n=\lim\limits_{n\to\infty}\left(u\right)+\lim\limits_{n\to\infty}\left(\displaystyle\sum_{i=1}^\infty\dbinom{n}{i}\left(e^{\frac{lnu}{n}}\right)^{n-i}\left(-\dfrac{x-1}{n}\right)^i\right)$$
Burada en sağ tarafa başta 0 diyesim geldi ama diyemiyoruz $e^x=e$ geliyor, bu son kısmı analiz edemedim.

$$/////////////////////////////////////////////////$$
$METOD* 3(DENEME)$:

Taylor serileri o zamanlar biliniyordu, $e^x$ diye bir fonksiyon için sonsuz polinom analızı yapılırsa $e^x=\displaystyle\sum_{i=0}^\infty\dfrac{x^i}{i!}$

ama burada da şunları göstermek çok zorlaşıyor;

$$e^x=\displaystyle\sum_{i=0}^\infty\dfrac{x^i}{i!}=\left(\displaystyle\sum_{i=0}^\infty\dfrac{1}{i!}\right)^x$$

$$/////////////////////////////////////////////////$$