Tanım kümesi Z
tamsayılar kümesi olan her fonksiyon (kuralı ne olursa olsun) -birçok kişinin bildiğinin ve iddia ettiğinin aksine- süreklidir. "Elimizi kaldırmadan grafiğini çizebildiğimiz fonksiyonlar süreklidir" bilgisi tanım kümesi sadece ARALIK olan fonksiyonlar için geçerli olan bir söylemdir. Takdir edileceği üzere her fonksiyonun tanım kümesinin bir aralık olması GEREKMEZ. Tıpkı bu soruda olduğu gibi. Burada da
c∈Z olmak üzere
ϵ pozitif sayısı ne olursa olsun
δ sayısı
0<δ≤1 seçilirse
|x−c|<δ⇒|f(x)−f(c)|<ϵ
koşulu sağlanır (Neden?) yani
(∀ϵ>0)(∃δ>0)(∀x∈Z)(|x−c|<δ⇒|f(x)−f(c)|<ϵ)
önermesi doğru yani
f:Z→R
fonksiyonu
x=c
noktasında sürekli olur.
c keyfi olduğundan demek ki
f fonksiyonu
Z üzerinde süreklidir.