$2^{tek}-1$ sekildeki sayilarin hiçbirini bolmeyen sayilar

Question

$2^{tek}-1$ sekildeki sayilari bolmeyen asal sayilar nelerdir. Mesela 2,3,5 buna ornek ama $7|2^3-1$.

Answer 1

Bu zor bir soru, ancak örnek verebilirim.

$q\equiv 3,7 \pmod 8$ bir asal olsun, $p = 2q + 1$ de bir asal olsun.

$\mathbb{Z}/ p \mathbb{Z}$ halkasının eleman sayısı $p-1 = 2q$, Burada $\overline{2} \in \mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$ elemanının derecesi ya $q$ ya da $2q$ (2 olamaz, o şerefe $-1 \equiv 2q$ nail). Biz (nedense) ilk durumun olmasını istiyoruz. Demek ki $2^{q} \equiv 1 \pmod p$ ama ayni zamanda

$$2^{\frac{p-1}{2}} \equiv \left(\frac{2}{p} \right) \pmod p.$$

Ancak sağdaki elemanın ne olduğunu biliyoruz.
$$\left(\frac{2}{p} \right) = \begin{cases} 1 & \text{ if } p \equiv 1,7 \pmod 8, \\ -1 &\text{ if } p\equiv 3,5 \pmod 8. \end{cases}$$

Demek ki $p \equiv 1,7$ olan Sophie Germain asalları istediğiniz özelliği sağlıyor.

$7 = 2\cdot 3 + 1$ olduğundan bir Germain asalı, ve modülo $8$ istediğimiz kalan sınıfında.

Bir sonraki örnek de $23 = 2\cdot 11 + 1$. Burada da $2$'nin $11$'inci kuvveti $1$'e eşit olur.

Yalnız dikkat edin, tüm örnekleri verdiğimi iddia etmiyorum, $p = 31$ istediğiniz özelliği sağlar ama benim verdiğim formda değildir.

Comments

Anladigim kadariyla (yanlis da anlamis olabilirim ama) olmayan ornekleri vermissin galiba, 7 ve 23 gibi. Ben olanlari istiyordum. Tumunu bolmemesi gerekiyor bu sayilarin. Evet soru gercekten zor, ama ne kadar bulabilirsek diye sordum ve serbest katagorisine ekledim. Bu sonuc da en azindan bir kismini elettirdi. 

---

Evet tersini verdim.

Ancak $p = 2q + 1$ ve $p \equiv 3,5 \pmod 8$ ise o zaman sizin istediğinize örnek de bulunmuş olur.