$f:\mathbb{R} \longrightarrow \mathbb{R}$ sürekli ve türevi de sürekli ise $f(A)$ hakkında ne söyleyebiliriz.

Question

$f:\mathbb{R} \longrightarrow \mathbb{R}$ sürekli ve türevi sürekli bir fonksiyon olsun ve $A=\{x\in  \mathbb{R}: f'(x)=0\}$ kümesi tanımlansın. 

Sorum şu: $f(A)$ hakkında sonludur, sonlu değilse sayılabilirdir gibi bir sonuç söyleyebilir miyiz?

$f(A)$ nın sonlu olmadığı bir örnek buldum. Eğer $f(x)=sinx$ ise $f(A)$ sonlu değil ama sayılabilir. 

Comments

$f(x)=\sin x$ için $f(A)$ sonludur.

---

$f(x)=k\in R$   şeklinde sabit ise,  $A=R$  ve $f(A)=f(R)=\{k\}$ olur. Yani sonlu olabilir.

---

$f(x)=x+\sin x$ için $f(A)$ sayılabilir sonsuzdur.

---

Evet hocam atlamışım. Teşekkürler.Düzeltiyorum.

---

Sard ın Teoremi tam bu soruya (herhangi bir boyutta benzerine) cevap verir.

---

http://math.stackexchange.com/questions/1570206/set-of-critical-values-of-one-dimensional-continuously-differentiable-function-h

ve

http://math.stackexchange.com/questions/648237/measure-of-image-of-critical-points-set-is-equal-0

de aynı soru var. 

$f(A)$ nın Lebesgue ölçümümün 0 olduğu gösterilmiş, ispatı çok zor değil.

Bu sonuç, sayılamaz olma olasılığını ortadan kaldırmıyor, Cantor un kümesini hatırlayın.

Answer 1

f(A) kümesi sonlu olmak zorunda olmadığı gibi sayılabilir de olmak zorunda değildir.Örneğin A kümesi yerine Irrasyonel sayılar birlesim rasyonel saylar kümesini alırsak birinci türev her zaman sıfırdır. A dan alacağımız her irrasyonel sayıya karşın farklı bir f(x)∈f(A)  buluruz.Dolayısıyla Irrasyonel sayılar kümesi sayılabilir olmadığından f(A) kümesi de sayılabilir olmak zorunda değildir.(Not: Sayilabilir bir kume ile saylabilir  olmayan bir kumenin birlesimi sayilabilir degildir)

Dogan Beyin uyarisi uzerine duzenledim.

Comments

$A$ kümesi= irrasyonel sayılar olamaz. 

Çünki $f'$ nün sürekli oluşu koşulundan  $A$ kapalı olmak zorundadır.

---

$A$ kümesi rasyonalleri vaya irrasyonelleri kapsıyor ise (kapalı olduğundan, $A=\mathbb{R}$ olur ve) $f'=0$ olur ve buradan da  $f$ sabit fonksiyon olur.

Bu soru, göründüğü kadar basit değil ama önemli. İleri lisans lisansüstü düzeyde. Verdiğim bağlantılara bakabilirsiniz.

Answer 2

$f(A)$ nın sayılamaz olduğu bir örnek:

$C$, Cantor un kümesini göstersin. (http://www.matematikdunyasi.org/arsiv/PDF_eskisayilar/1993_4_15_22_CANTOR.pdf)

Bu küme kapalı,sayılamaz çoklukta eleman içeren ama hiç bir aralık içermeyen bir kümedir.

$g(x)=\inf\{|x-c|:c\in C\}$ (Cantor un kümesine uzaklık fonksiyonu) olsun. (Metrik) Topolojinin standart bir probleminden, $g,\ \mathbb{R}$ de süreklidir ve $\{x:g(x)=0 \}=C$ ve $\forall x\in\mathbb{R}$ için $g(x)\geq0$ dir. $f(x)=\int_0^x g(t)\,dt$ olsun. Diferansiyel-İntegral Hesabın Temel Teoreminden, $f'=g$ dir. 

$A=\{x:f'(x)=0\}=\{x:g(x)=0\}=C$ dir. $\forall x\in\mathbb{R}$ için $f'(x)=g(x)\geq0$ ve hiç bir aralıkta $f'$ (sabit) 0 olmadığı için $f,\ \mathbb{R}$ da kesin artan bir fonksiyondur.

( http://matematik.cu.edu.tr/Dersler/MT131/Artanlik.pdf Önerme 2 ye bakınız.)

Bu nedenle, $f$, 1-1 dir.

 $A=C$ sayılamaz bir küme ve $f$ 1-1 olduğu için $f(A)$ da sayılamaz bir kümedir.