$f(x)=x^n$ fonksiyonunun türevi

Question

$f(x)=x^n$, $n\neq 0$ ve $\mathbb R$'de tanımlı bir fonksiyon olsun. Fonksiyonun türevinin "her $n\in \mathbb R$ için" $n.x^{n-1}$ olduğunu gösteriniz.

$x^n$'nin türevini bulmak için iki yol biliyorum ama ikisi de $n\in \mathbb N$ için doğru olduğunu ispatlıyor. 1. yol $(f.g)'=f'.g+f.g'$ bilgisini kullanarak $n$ üzerine tümevarımla, 2. yol ise türev tanımından yola çıkarak $(x+h)^n$'nin binom açılımını kullanıp ispatlanıyor.

$\mathbb R$'de ispatlamak için ne gibi yollar izleyebilirim?

Comments

(1) Rasyonel sayılar için ispatlayabilir misin?
(2) $x^r=\exp(\ln x^r)$ bir işe yarar mı?

---

Sercan  2. önerisine (ek)

Her $x>0$ ve her $r\in\mathbb{R}$ için

$x^r=\exp(r\ln x)$ dir (bu aslında bir tanım)

---

(1)Rasyonel sayılarda ispatlamak için şöyle bir yol denedim:

$f(x)=x^q$, $q\in \mathbb Q$ ise $q=\dfrac{a}{b}$,  $a,b\in \mathbb Z$ şeklinde gösterilebilir.

$f'(x)=\lim\limits_{h\to 0}\dfrac{f(x+h)-f(x)}{h}=\lim\limits_{h\to 0}\dfrac{(x+h)^q-x^q}{h}=\lim\limits_{h\to 0}\dfrac{(x+h)^{\frac a b}-x^\frac a b}{h}$

Şimdi işleri zorlaştırmaması açısından  $q=\dfrac{a}{b}$ eşitliğinde $a,b\in \mathbb Z^+$ alalım. $$x^{\frac{a}{b}}=\sqrt[b]{x^a}$$ eşitliğini kullanırsak

$f'(x)=\lim\limits_{h\to 0}\dfrac{\sqrt[b]{(x+h)^a}-\sqrt[b]{x^a}}{h}$

Buradan sonra da paydadaki $h$'yi karekök içerisine aldım. $(x+h)^a$'nın binom açılımını yapıp ($a\in \mathbb Z^+$ olduğu için yapılabilir.) limit sonucunu bulmaya çalıştım ama bulamadım.

 

(2)$x^r=e^{ln{x^r}}$ logaritma kuralları gereği $e^{r.{lnx}}$'e eşittir.

$x^r=e^{r.{lnx}}$ eşitliğinde her iki tarafı da $ln$ tabanına alırsak eşitlik bozulmaz.

$ln{x^r}={r.lnx}$ olur. Şimdi

$f(x)=ln u(x)\Rightarrow f'(x)=\dfrac{u'(x)}{u(x)}$

(Daha genel olarak $f(x)= log_a u(x)\Rightarrow f'(x)=\dfrac{u'(x)}{u(x)}.log_ae$)

bilgisini kullanarak her iki tarafın türevini alalım.

$\dfrac{(x^r)'}{x^r}=\dfrac{r}{x}$

$(x^r)'=r.x^{r-1}$ gelir.

Bu ispatın eksiksiz olabilmesi için

$$f(x)= log_a u(x)\Rightarrow f'(x)=\dfrac{u'(x)}{u(x)}.log_ae$$

doğruluğunun da gösterilmesi gerekiyor.

---

Şöyle çözmeye çalıştım devamı gelmedi:

$f(x)=log_au(x) \Rightarrow f'(x)$'in ne olduğunu bulmak istiyoruz.

Logaritmada taban değiştirme kuralı kullanılarak

$log_au(x)=\dfrac{lnu(x)}{lna}$ yazılabilir. Şimdi bu ifadenin türevini alalım.

$\left(\dfrac{lnu(x)}{lna}\right)'=\dfrac{(lnu(x))'.lna-lnu(x).(ln(a))'}{(ln a)^2}$

Sabitin türevi $0$'dır dolayısıyla $lnu(x).(ln(a))'$ çarpımı da 0' eşit olacaktır. Öyleyse

$f'(x)=\dfrac{(lnu(x))}{ln a}'=\lim\limits_{h\to 0}\dfrac{lnu(x+h)-lnu(x)}{h.lna}=\lim\limits_{h\to 0}\dfrac{ln\dfrac{u(x+h)}{u(x)}}{h.lna}=log_ae.\lim\limits_{h\to 0}ln\left[\dfrac{u(x+h)}{u(x)}\right]^{\frac{1}{h}}$

elde edilir. Devamını getiremedim.

Answer 1

$x\in \mathbb{R}^{\geq 0}$ ve $r \in \mathbb{R}$ iken, $x^r$ ifadesi $\exp(r\ln x)$ olarak tanımlanmıştır. Ve elbette $\exp' = \exp$ ve $(\ln x)' = 1/x$'tir. Şimdi, zincir kuralını uygulayarak hesaplayalım:
$$\begin{array}{lll} \left(x^r\right)' &=& \left(\exp(r\ln x)\right)'\\ &=& \exp'(r\ln x)\cdot (r\ln x)' \\ &=& \exp(r\ln x)\cdot r/x \\ &= & x^r \cdot r/x \\ &=& rx^r/x\\ &=& rx^{r-1} \end{array}$$
olur.