Genel olarak $\displaystyle\sum_{i=0}^\infty (ai+b)x^i$ olan yakınsak serisini nasıl hesaplayabiliriz? Daha spesifikleri içeride.

Question

$$\displaystyle\sum_{i=0}^\infty (ai+b)x^i$$ dizisi $a,b\in\mathbb R$  ve  $|x|<1$ iken yakınsar mı?En azından, bu serinin yakınsaması için verilebilecek en muhtemel durumdur $|x|<1$.


Daha spesifik olursak;

$$\boxed{\boxed{\boxed{1.}}}\quad\quad\displaystyle\sum_{n=0}^\infty (n+1)x^n,\quad \quad |x|<1$$

$$\boxed{\boxed{\boxed{2.}}}\quad\quad\displaystyle\sum_{n=0}^\infty \dfrac {n+1}{2^{n+1}}$$


Bu serileri nasıl hesaplayabiliriz?


$$\boxed{\boxed{\boxed{Cevap\;2.}}}\quad\quad\displaystyle\sum_{n=0}^\infty \dfrac {n+1}{2^{n+1}}$$

$$U=1+x^1+x^2+....+x^n+...\to\infty=\displaystyle\sum_{i=0}^{\infty}x^i=\dfrac x{1-x}$$

türevini alalım $x$'e göre ve $x$ ile çarpalım;

$$xU'=\displaystyle\sum_{i=0}^{\infty}ix^i=\dfrac x{(1-x)^2}$$

$x=1/2$ için;

$$\displaystyle\sum_{i=0}^{\infty}i(1/2)^i=\dfrac {1/2}{(1/2)^2}=2\quad\Box.$$

Answer 1

$2.$ için bir ispat daha;

$$\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n}{2^n}=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{n+1}{2^{n+1}}=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n}{2^{n+1}}+\sum_{n=0}^\infty\frac{1}{2^{n+1}}=\frac{1}{2}\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n}{2^{n}}+1$$

Dolayısıyla; $$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\frac{n}{2^{n}}=2$$ olur.

Answer 2

$\dfrac12+\dfrac14+\dfrac18+....=1$  olduğu biliniyor, şöyle ki:


Bundan dolayı;

$\dfrac14+\dfrac18+....=1/2$  

$\dfrac18+....=1/4$
.
 .
  . 

olur ve aşağıdaki kareyi yaparsam yanlış yapmış olmam. 


$1\times 1$  bir kare alalım;

$\Box.$