Birbirine bağlı serilerde eşitsizlik ispatları.

Question

$x_n=\left(1+\dfrac1n\right)^n$

$z_n=\left(1-\dfrac1n\right)^n$

$y_n=\left(1+\dfrac1n\right)^{n+1}$

Soru 1:

$\forall \; 0\neq n\in\mathbb N \quad$  için;

$x_n<x_{n+1}$   ve    $z_n<z_{n+1}$ 

olduğunu gösteriniz. 

Soru 2:

Üstteki sonuçtan;

$\forall \; 0\neq n\in\mathbb N \quad$  için;

$y_{n+1}<y_{n}$   olduğunu ve $x_n<y_n<x_{n+1}$  olduğunu gösteriniz.  


Ek soru 1:.
  
$n>0$   ve   $x>0$  için, $\boxed{\boxed{ \left(1+\dfrac x {n+1}\right)^{n+1}>\left(1+\dfrac x n\right)^n}}$   olduğunu gösteriniz.

Ek soru 2:.

$k>0$, $n\in\mathbb N$  olsun;

$\boxed{\boxed{ \left(1+\dfrac{k}{n}\right)^n\le \left(1+\dfrac{k}{kn}\right)^{kn}}}$   olduğunu gösterelim.

Ek soru 3:.

Yukardakinin biraz farklısı;

$k>0$, $n\in\mathbb N$  olsun;

$\boxed{\boxed{ \left(1+\dfrac{k}{n}\right)^n\le \left[\left(1+\dfrac{1}{n}\right)^{n}\right]^k}}$  olduğunu gösterelim

Bilgiler;

Binomal açılım;

$(x+y)^n=\displaystyle\sum_{k=0}^n\dbinom n k x^n y^{n-k}$

Bernoulli eşitsizliği;

$n>1$  ve tam sayı , $x\neq0$   ve  $1+x>0$   için daima   $(1+x)^n>1+nx$

ve

http://matkafasi.com/100701/serilerde-esitsizlikler-farkli-metodlar-%24-n-1-x-n-1-le-nx-n-1-%24

Comments

(1) nolu soru için geometrik ortalamanın aritmetik ortalamadan küçük eşit olduğu bilgisini kullanırsak

$$\sqrt[n+1]{\underset{n \text{ tane}}{1\cdot\underbrace{\left(1+\frac{1}{n}\right)\cdot \left(1+\frac{1}{n}\right)\ldots \left(1+\frac{1}{n}\right)}}}\leq \frac{1+n\cdot \left(1+\frac{1}{n}\right)}{n+1}=\frac{n+2}{n+1}=1+\frac{1}{n+1}$$

$$\Rightarrow$$

$$\left(1+\frac1n\right)^n\leq \left(1+\frac{1}{n+1}\right)^{n+1}$$

elde edilir.