Sayma ile ilgili ,binom ve serinin eşitliği ve ispatım.Bu eşitliği siz nasıl ispatlardınız? $\dbinom{n+1}{r+1}=\displaystyle\sum_{k=r}^n\dbinom{k}{r}$

Question

İspatlamak istediğim eşitlik;

$\forall\; r,n\in\mathbb N, \quad 0\le r \le n$

için;

$\boxed{\boxed{\dbinom{n+1}{r+1}=\displaystyle\sum_{k=r}^n\dbinom{k}{r}}}$



$\dbinom{n+1}{r+1}=\dfrac{n+1}{r+1}\dbinom{n}{r}=\displaystyle\sum_{k=r}^{n-1}\dbinom{k}{r}+\dbinom{n}{r}$        , sağdaki fazlalığı sola atıp ilerlemeyi deneyeceğim ama ondan önce küçük bir eşitliği vereyim;

Eşitlik:

$\dbinom{n+u}{r}=\left(\dfrac{n+u}{n+u-r}\right)\dbinom{n+u-1}{r}$

bu eşitliği gerekecek diye yazdım , ispatlaması çok bariz.


Devam edelim,

$\dbinom{n+1}{r+1}=\dfrac{n+1}{r+1}\dbinom{n}{r}=\displaystyle\sum_{k=r}^{n-1}\dbinom{k}{r}+\dbinom{n}{r}$ 

$\to$

$\left(\dfrac{n+1}{r+1}-1\right)\dbinom{n}{r}=\displaystyle\sum_{k=r}^{n-2}\dbinom{k}{r}+\dbinom{n-1}{r}$      belki düzeni keşfederiz diye , oradaki $-1$ öyle kalsın . 

Verdiğim eşitlik dolayısıyla son denklemi şöyle yazayım;

$\left(\dfrac{n+1}{r+1}-1\right)\underbrace{\left(\dfrac{n}{n-r}\right)\dbinom{n-1}{r}}_{\binom{n}{r}}=\displaystyle\sum_{k=r}^{n-2}\dbinom{k}{r}+\dbinom{n-1}{r}$   tamam $-1$ den bir şey çıkmadı $\binom{n-1}r$ leri solda toplayalım  ama ondan önce dikkatinizi çekiyor mu?

$\left(\dfrac{n+1}{r+1}-1\right)=\dfrac{n-r}{r+1}$   olduğundan solda bir sadeleşme olur , sadeleşmeyi yapıp  $\binom{n-1}r$ 'leri solda toplayalım;


$\left(\dfrac{n-r-1}{r+1}\right)\dbinom{n-1}{r}=\displaystyle\sum_{k=r}^{n-2}\dbinom{k}{r}$


Sonra tekrar en baştaki eşitlikten yola çıkarak;

$\dbinom{n-1}{r}=\dfrac{n-1}{n-r-1}\dbinom{n-2}{r}$   olur ve yerine koyarsak;



$\left(\dfrac{n-r-1}{r+1}\right)\dfrac{n-1}{n-r-1}\dbinom{n-2}{r}=\displaystyle\sum_{k=r}^{n-3}\dbinom{k}{r}+\dbinom{n-2}{r}$

Sonra gene aynı şeyleri yapalım;

$\left(\dfrac{n-r-2}{r+1}\right)\dbinom{n-2}{r}=\displaystyle\sum_{k=r}^{n-3}\dbinom{k}{r}$

Dolayısıyla buradan da şöyle bir eşitlik gelir;

$\left(\dfrac{n-r-(u-1)}{r+1}\right)\dbinom{n-(u-1)}{r}=\displaystyle\sum_{k=r}^{n-u}\dbinom{k}{r}$

$u=n-r-1$ için doğru 

$u=n-r$ için de doğru olur

$u=0,1$ için zaten doğruydu, burada tümevarımdan ,teoremin doğruluğu kanıtlanır mı?


Ek sonuç(lar):

Sonuç 1:

$\dbinom{n+u}{r}=\left(\dfrac{n+u}{n+u-r}\right)\dbinom{n+u-1}{r}$   bu eşitliği düzenlersek;

$\boxed{\boxed{\dfrac{n+u-r}{n+u}=\dfrac{\binom{n+u-1}{r}}{\binom{n+u}{r}}}}$  bulunur.

Sonuç 2:

$\left(\dfrac{n-r-a}{r+1}\right)\dbinom{n-a}{r}=\displaystyle\sum_{k=r}^{n-a-1}\dbinom{k}{r}$   eşitliği düzenlersek;

$\boxed{\boxed{\left(\dfrac{n-r-a}{r+1}\right)=\dfrac{\displaystyle\sum_{k=r}^{n-a-1}\dbinom{k}{r}}{\dbinom{n-a}{r}}}}$