Uygun koşullarda tanımlı $f(2x+1)=2x-3x^2$ ve $g(2-5x)=x^2+4x$ fonksiyonları veriliyor.Buna göre (fog)'(-13) kaçtır?

Question

(fog)'(x)=f'(g(x)).g'(x) ama bu formulü uygulayamıyorum.Yani bana (fog)'(-13)'ü sorduğu için x'e 3 verdim ama ordan da bulamadım.

Comments

cevabım işine yaradı mı?

Answer 1

Bizden ne isteniyor?

$f(g(x))$'in türevinde $x=-13$ isteniyor de mi?

O zaman $f(g(x))$'in türevi neydi? 

http://matkafasi.com/67909/zincir-kurali-ispati-ezber-bozuyoruz-1?show=67909#q67909

buradan $(f(g(x)))'=f'(g(x))g'(x)$

yani cevap $f'(g(-13))g'(-13)$


$f(2x+1)=2x-3x^2$  , biz $f$ fonksiyonunun $f(U)$ buradaki $U$  kısmına bir $g$ fonksiyonu koyacagımızdan $f(x)$ 'i bulup rahatça bileşke alalım, $2x+1$ ne zaman $x$ olur  , ilk denklemde $(x-1)/2=x$  yazalım;

$f\left(2.(\frac{x-1}{2})+1\right)=f(x)=2\left(\dfrac{x-1}{2}\right)-3\left(\dfrac{x-1}{2}\right)^2$


$f\left(g(2-5x)\right)=2\left(\dfrac{g(2-5x)-1}{2}\right)-3\left(\dfrac{g(2-5x)-1}{2}\right)^2$

Türev alalım her tarafın;


$\underbrace{f'\left(g(2-5x)\right)g'(2-5x)(2-5x)'}_{-5f'(g(2-5x))g'(2-5x)}=\underbrace{2\left(\dfrac{g(2-5x)-1}{2}\right)'}_{2\left(\frac{-5 g'(2-5x)}{2}\right)}-\underbrace{3\left(\left(\dfrac{g(2-5x)-1}{2}\right)^2\right)'}_{-3.2\left(\frac{g(2-5x)-1}{2}\right)\left(\frac{-5 g'(2-5x)}{2}\right)}$

Düzenlersek;

$-5.f'(g(2-5x))g'(2-5x)=-5.g'(2-5x)+\dfrac{15}{2}g'(2-5x)(g(2-5x)-1)$

$g(2-5x)=x^2+4x$

$g'(2-5x)=-\dfrac{(2x+4)}{5}$


$f'(21)=1-30=-29$

bize $f'(g(-13))g'(-13)$  lazım olduğundan $g(13)$ ve  $g'(13)$ lazım , $2-5x$ ne zaman $-13$  olur?  $2-5x=-13$  , $x=3$ iken,

$g(2-5x)=x^2+4x\quad g(-13)=21$

$g'(2-5x)=-\dfrac{(2x+4)}{5}\quad g'(-13)=-2$

Yerine yazalım;

$-5.f'(g(2-5x))g'(2-5x)=-5.g'(2-5x)+\dfrac{15}{2}g'(2-5x)(g(2-5x)-1)$

Buradan dolayı;

$x=3$ yazarsak;

$-5 (f\circ g)'(-13)=-5\underbrace{g'(-13)}_{-2}+\dfrac{15}{2}\underbrace{g'(-13)}_{-2}(\underbrace{g(-13)-1}_{20})$

Düzenlersek;

$(f\circ g)'(-13)=58$  gelir.