Camasir makinasi kapaginin taradigi alan.

Question

L harfi ve seklin donusu sekli buraya cizdim. Sekil abc,den ade ,ye gidiyor.

L'nin uzun kosesi $a$, kisa kosesi $b$, ortadaki aci da $90^o$.. Kapagin aciklik acisini da $0 \leq \theta \leq 180$ alalim. Taradigi alanin, $a,b,\theta$ cinsinden degeri nedir ve $a=\sqrt{3}, b=1, \theta=90^o$ icin degeri nedir?

Sekili net gosteremedim ama anlatmaya calistim, anlasilmiyorsa yorum olarak sorabilirsiniz

Comments

Efendim,

Öncelikle soru bendeniz için pek açık değil. Eğer yalnızca çamaşır makinasi kapağının taradığı alan deseniz (yâni hiç anlayamadığım, "L" harfiyle ilgili açıklamaları yapmasaydınız... Gerçekten de, çamaşır makinası ile L harfinin bağlantısı nedir?) o zaman torus'un (daha doğrusu horn torusun) yüzey alanı kullanılarak cevap verilebilir: $A=4\pi^2a^2$. Burada $a$ torusu doğuran çemberin yarıçapıdır (Tabî sizin durumda kapak sadece $180^{\circ}$ taradığı için bunun yarısı olacak). http://mathworld.wolfram.com/HornTorus.html sayfasında bâzı mâlumât bulunabilir.

Eğer istenen yukarıdaki gibi birşeyse o zaman buna yönelik çözüm verilebilir.

---

a

bLc 

Koseler  a,b,c olsun. a kosesinden menteseli.  ekseni de ekran olarak alabiliriz.

Answer 1

Ödev olduğunu düşündüğüm için sonuna  kadar yapmıyorum. Ama buradan çözebilirsiniz.

Comments

odev sorusu degil, kendim yazmistim lisedeyken (10 seneyi asmistir), yanyana sordugumda da dogru cevabi ilk basta veren, ya da hemen cevaplayan gormedim daha, iddia olsun diye degil ama oyle.

Cozumunu bildigim halde sekil benim icin bir cevap uyandirmadi. L sabit kaliyor, seklini bozmuyor, uc koseden menteseli ve donuyor.

---

O zaman ben soruyu anlamadım. Kusura bakmayın öğrenci sandığım için. Cevap pi çıkar benim anladığım şekilde. Anlatılmak istenen şekilde ne çıkar bilmiyorum

---

Sekli simdi biraz anladim, evet $90^o$  icin $\pi$. Kucuk cizginin de kendi ceyrek cemberi kadar alan tarayacagini nasil soyluyorsun? Cunku donme noktasina uzak. Oyle direk gozukmese gerek. Yani gozukuyorsa ben de bileyim diye soruyorum.

---

Şu an size yardımcı olamam ama merak ettiğiniz görsel şekilleri Geogebra yardımıyla inceleyebilirsiniz.

---

Üç köşeden menteşeli bir katı cisim nasıl dönecek peki? Eğer L katı cismi olarak dönüyorsa, bize bir eksen sözleyiniz; biz de onu o eksen etrâfında döndürelim ve istenen büyüklükleri hesaplayalım. 

---

a

bLc 

Koseler  a,b,c olsun. a kosesinden menteseli.  ekseni de ekran olarak alabiliriz.

---

@Sercan  hocam ödevlerini neden zamanında yapmıyorsun?

Answer 2

Cevâbı buldum sanırım. Anladığım şekliyle çözümünü vereyim. Aşağıdaki şekil faydalı olacaktır. 

Şekilden görüldüğü üzere tarama açısına bağlı olan kısmın $\theta-\varphi$ dilimi olduğu açık. Bu bölgenin alanı ise $$D=\frac{\pi(R^2+r^2)(\theta-\varphi)}{2\pi}=\frac{(R^2+r^2)(\theta-\varphi)}{2}$$ dir. Diğer iki bölgenin alanı da kolay. İlkinin alanı, $$Ü_1=\frac{rR}{2}$$ diğerinin alanı ise, $$Ü_2=\frac{(R^2+r^2)\varphi-rR}{2}$$ dir. Bunları toplarsak;

$$A(\theta; R, r)=\frac{rR}{2}+\frac{(R^2+r^2)\varphi-rR}{2}+\frac{(R^2+r^2)(\theta-\varphi)}{2}=\frac{R^2+r^2}{2}\theta$$ bulunur. Bu sonuç $\theta=2\pi$'nin büyük dâirenin alanını vermesiyle kontrol edilebilir. 

Burada ilk bakışta açık olmayan tek nokta, $r$ uzunluklu kısmın ucunun bir dâire çizmesi olabilir. Yâni, sonuçta iki eşeksenli dâirenin varlığını göstermek gerekebilir. Bu da kolay; biraz analitik geometri kullanacağız:

Bu noktanın koordinatları şöyle bulunabilir (burada bâzı adımlar atlanmış olabilir, kusûruma bakmayın): $$\vec r=\left(R\sin\left(\frac{\pi+\theta}{4}\right)+r\sin\left(\frac{\pi-\theta}{4}\right)\Bigg|\,R\cos\left(\frac{\pi+\theta}{4}\right)-r\cos\left(\frac{\pi-\theta}{4}\right)\right)$$ ve $\sin$ ve $\cos$'un toplam formüllerini kullanıp toparlarsak $\gamma=\theta /4$ kısaltmasıyla, $$\frac{1}{\sqrt{2}}\left((R+r)\cos \gamma +(R-r)\sin \gamma \,\Bigg| \,(R-r)\cos\gamma -(R+r)\sin \gamma\right)$$ alınır. Bu vektörün $x$ ve $y$ bileşenleri için $x^2+y^2$ hesaplanırsa hemen $x^2+y^2=R^2+r^2=\mbox{sabit}$ bulunur. Yani bu noktanın konumu resimde çizilen büyük çemberin üzerinde olacaktır ve bu çember küçük çemberle eşmerkezlidir.

Problem çözülmüş oldu. Şimdi soruda istenen değerler kullanılarak tam sonuç yazılabilir: $R=\sqrt 3$, $r=1$ ve $\theta=90$ için 

$$A(\frac{\pi}{2}; \sqrt 3, 1)=\pi$$ bulunur.

Comments

Eline saglik. Kisa cozumu de var aslinda. Sadece kucuk bir parcanin yerini degistirince hemen cikiyor.

---

Aa doğru, haklısın :) Küçük parçayı taşıyınca (kes-yapıştır soruları gibi) $\theta$'lık $\sqrt{R^2+r^2}$ yarıçaplı bir dilimin alanını bulmaya indirgeniyor.

Answer 3

Daha kisa bir cozum olarak: Eger ilk bastaki ucgensel bolgeyi kesip sondaki eksik parcanin yerine koyarsak. Yari capi $2$ olan ceyrek bir cember elde ederiz. Bu alan da $\pi$ (birim kare) olur.