Yalnızca 2 tane altgrubu olan bir grubun mertebesi asaldır.

Question

$G$ bir grup olsun. Eğer $G$'nin yalnızca 2 tane altgrubu varsa, $G$'nin mertebesi asaldır.

Comments

Sylow teoremleri ile cozebilirsiniz. (Asal olmadigini varsayarsaniz celiski gelir).

Answer 1

$G$ bir grup ve $e\in G$ birim eleman olmak üzere $G$'nin $\{e\}$ ve $G$ altgrupları her zaman mevcuttur.  $a\in G$ için Lagrange teoreminden $H=<a>$ altgrubunun mertebesi $G$'nin mertebesini böler. $G$'nin yalnızca iki altgrubu olduğundan $H=\{e\}$ ya da $H=G$ olmalıdır. Buradan $G=<a>$ olup devirlidir. Eğer $G$'nin mertebesi asal değilse $G$'nin mertebesini bölen $1$ ve kendisinden başka en az bir pozitif böleni vardır ve bu bölen için $G$'nin aşikar altgruplarından başka bir altgrubu mevcuttur. Bu ise bir çelişkidir.