f:R→R
fonksiyonu türevli ve türevi
0 ise
f fonksiyonu sabit fonksiyon olmak zorundadır.
f:R→R fonksiyonu türevli ise süreklidir. x,y∈R ve x<y olsun. f sürekli olduğundan f fonksiyonunun [x,y] aralığına kısıtlanışı olan f:[x,y]→R
fonksiyonu da süreklidir ve
f:R→R fonksiyonu türevli olduğundan
f:(x,y)→R
fonksiyonu da türevlidir. O halde
Ortalama Değer Teoremi uyarınca
f(x)−f(y)x−y=f′(c)
olacak şekilde
(x,y) aralığında en az bir
c elemanı vardır. Fonksiyonun türevi
0 (f′(x)=0) olduğundan her
x,y∈R için
f(x)−f(y)=0
yani
f(x)=f(y)
olur. Bu da
f fonksiyonunun sabit bir fonksiyon olmasını gerektirir.
Sonuç olarak gerçel sayılardan gerçel sayılara tanımlı ve türevi 0 olan fonksiyon sabit fonksiyondan başka bir fonksiyon olamaz.