Tam sayılarda bölünebilme

Question

Altı basamaklı $35AB47$ doğal sayısı $11$ ile tam bölünmektedir.

Buna göre, $B-A$ farkının alabileceği farklı değerler toplamı kaçtır?

Cevap:$1$ 

sayıyı $35A$ ve $B47$ olarak iki gruba ayırdım, $35A$ olarak $A=2$ için sağlandı fakat $B47$ üç basamaklı sayısını $11$'in tam katı yapan $B$ değerini bulamadım.

Sorunun farklı bir çözüm yolu vardır muhtemelen, konuya biraz yeniyim yardım ederseniz sevinirim.

Answer 1

ilk olarak $$abcdef=10^5a+10^4b+10^3c+10^2d+10e+f$$ olarak yazalim. Acik bir sekilde $$10^n\equiv (-1)^n \mod 11$$ olur. Bu nedenle $$abcdef\equiv -a+b-c+d-e+f \mod 11$$ olur. ($11$ ile bolunebilme kuralini bu sekilde ispatlariz).

Soruya uygularsak $$B-A+5\equiv 0\mod 11$$ olmali olur. Buradan $$B-A \in \{-5+11k \; |\; k \in \mathbb Z\}$$ olur. $A$ ve $B$ rakam oldugundan olasi degerler $-5$ ve $6$ olur.

Comments

Hocam, çözüm için teşekkür ederim fakat mod-medyanı daha görmedik birkaç gün içinde muhtemelen görürüz, öbür türlü bir çözüm yolu olabilir mi yoksa mod medyanı öğrendikten sonra geri dönüş mü yapayım soruya?:)

---

Ogrenecek bir sey yok. Su an bile orenebilirsin. Mod demek, zaten ~kalan demek. 


$a=b \mod n$ su demek $a$ ile $b$ sayisinin $n$ ile bolumunden kalan ayni. Bolumenden kalanlar ayni oldugundan $a-b$ sayisi $n$ sayisina bolunebilir. 


$10\equiv -1 \mod 11$ ayni zamanda $10 \equiv 21 \mod 11$ ...

---

ikisinin de $11$ ve tam katları için (10 için 11 , 21 için 22) aradaki fark $-1$ olduğu için mi eşit diyoruz?

mesela 3 ile bölünen sayıları düşünsek 

29 denk -1 mod 3 şeklinde yazıyoruz örneğin

---

ikisinin de kalani $10$, ya da ikisini farki $21-10$ sayisi $11$e tam bolunuyor.

$29-(-1)$ sayisi $3$e tam bolundugunden $\mod 3$te denk olurlar.