İntegralini hesaplayalım, $\displaystyle\int\dfrac{1}{\sec x+\csc x}dx$

Question

Böyle bir soru hatırlıyorum ancak araştırıp ta bulamadım, tekrar sorayım eger sorulmuşsa tabii.

 
$\boxed{\displaystyle\int\dfrac{1}{\sec x+\csc x}dx}$

Comments

Anılcığım ben biraz uğraştım ama çok çok uzun bir yol oldu. $secx=1/cosx,cosecx=1/sinx$ eşitliklerinden sonra $tan(x/2)=u$ dönüşümü uyguladım. Sonra basit kesirlere ayırma ve sonrada ortaya çıkan üç farklı integrali alma yolunu izledim. Bu da çok uzun bir çözüm olacak.Belki çok daha kısa ve güzel bir çözüm gelir. Bekleyelim bakalım. 

---

Aynen hocam bende de aynısı var, bir de şu var ama devamı gelmedi,


$\displaystyle\int\dfrac{1}{\sec x+\csc x}dx=\dfrac12\displaystyle\int\dfrac{2sinx.cosx}{sinx+cosx}dx=\dfrac12\displaystyle\int\dfrac{\overbrace{1+2sinx.cosx}^{(sinx+cosx)^2}-1}{sinx+cosx}dx$

$=\dfrac12\displaystyle\int\dfrac{(sinx+cosx)^2-1}{sinx+cosx}dx$  , ama sonradan hoş bir şeyler cıkmadı.

---

Verilen integral  $\int secx dx+ \int cscx dx$

şeklinde yazılabilir. 

Payda elenerek, dağılma özelliği ve 

sadeleştirme sonunda, bu integral biçimine ulaşılır.

Answer 1

$İntegrali$ $alınacak$ $fonksiyonu$ $düzenleyelim$  

$\large \frac1{secx+cscx}= \frac{\sin.cos}{sinx+cosx}=\frac1{2\sqrt{2}}\frac{\sin(2x)}{cos(x-\frac\pi4)}$ ,

eşitlikleri gerçekler.Aynı zamanda kullanacagımız donusumler ile devam edersek,

$\ sin(2x)=2sinx.cosx$

ve

$cos(x-\frac\pi4) = \frac{\sqrt2}{2}(cosx+sinx)$

Şimdi değişken dönüşümü yapalım ;

$u=x-\frac\pi{4} ,$

$du=dx$ 

ve 

$sin(2x)=sin(2u+\frac\pi{2})=cos(2u)$

$cos(2u)=cos^2-1$

İntegralimiz şimdi şu hale geldi ;

$\frac1{2\sqrt2}\int \frac{2\cos^2u-1}{cos(u)}du=\frac1{\sqrt2}\int cos(u)du - \frac1{2\sqrt2}\int sec(u)du$

$Biliyoruz$  $ki ; \int sec(u)du= ln \mid sec(u) + tan(u) \mid.$ 

Sonuç olarak integrali alırsak ;

$\frac1{\sqrt2}{sin(x-\frac\pi4)}-\frac1{2\sqrt2}-ln \mid sec(x-\frac\pi4) + tan(x-\frac\pi4) \mid+ C$