Question

$\lim _{x\rightarrow 0}\dfrac {e^{\sin x}-2x-1} {\sin x}$ kuvvet serilerinden faydalanarak çözünüz.

Comments

Muhtemelen $e^{\sin x}$ ve $\sin x$ fonksiyonlarını $x=0$ noktası civârında Taylor serisine açmanızı istiyorlar. Sonra da pay ve paydadaki ifadelerin $x\rightarrow 0$ için nasıl davrandığını belirlemeniz lâzım.

$$e^x=1+x+\frac{x^2}{2!}+\dots +\frac{x^n}{n!}+\dots$$ ve $$\sin x=x-\frac{x^3}{3!}+\dots +\frac{(-1)^nx^{2n+1}}{(2n+1)!}$$ ifâdelerini kullanıp düzenlemek lâzım geliyor sanırım.

Answer 1

Öncelikle kesiri iki parçaya ayırın:

$$\frac{e^{\sin(x)-1}}{\sin(x)} + \frac{-2}{\frac{\sin(x)}{x}}$$

Şimdi, yukaridaki yorumdaki Taylor açılımlarını kullanarak $\frac{e^x-1}{x}$ ve $\frac{\sin(x)}{x}$ fonksiyonlarının Taylor açılımlarını yazın. Sonra $\frac{-2}{x}$ fonksiyonunun 0'dan ötede, ve $\sin(x)$ fonksiyonunun her yerde sürekli olduklarını gözlemleyin. Bu da demektir ki Taylor açılımından

$$\lim_{x\to 0} \frac{-2}{\frac{\sin(x)}{x}} = \frac{-2}{\lim_{x\to 0}\frac{\sin(x)}{x}} = -2$$

elde ederiz. Öte yandan yine Taylor açılımından

$$\lim_{x\to 0}\frac{e^{\sin(x)}-1}{\sin(x)} = \lim_{t\to 0}\frac{e^t-1}{t} = 1$$

elde ederiz.

Comments

Onemli bir noktayi sormak istiyorum: $\sin x\rightarrow t$ degisimini neden yapabildik? Hangi kosullarda degisim yapabiliriz.

---

Her durumda yapabilirsiniz. Yeter ki limitleri tutturun. Yukarda $\lim_{x\to 0} \sin(x) = 0$ oldugu icin $t\to 0$ yazabiliriz.