Modüler Aritmetikte 3x3 matrisin tersi

Question

Girdileri modülo $n$ sayilar olan, $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ de 3x3 lük bir matrisin tersi nasıl bulunur?

$$A= \left( \begin{array}{ccc} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \end{array} \right) \text{ ise} ;$$

$A^{-1}$'i $\pmod n$'de nasıl buluruz?

Comments

$x$ tabani yerine modulo $x$ mi demek istediniz?

---

evet, soruyu tekrar duzenledim. teşekkürler

Answer 1

$A \in \operatorname{GL}_k (\mathbb{Z}/n\mathbb{Z})$ girdileri modülo $n$ sayılardan, ve tersinir bir matris olsun. Yani

$$AB = BA = I$$

eşitliğini sağlayacak bir $B \in \operatorname{GL}_k(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z})$ var.

Bu $B$'yi nasıl buluruz?

$A$'nın girdileri çeşitli $x$ tamsayıları için $\bar{x} \in \operatorname{Z}/n\operatorname{Z}$ biçiminde elemanlar. Bu girdilerin tepesindeki çizgiyi kaldır. Şimdi elinde tamsayı girdili bir matris var.

Bu matrisin, adına $\tilde{A}$ diyelim, determinantı sıfırdan farklı $d$ gibi bir sayı. Hatta $\det(A) = \overline{\det(\tilde{A})} =  \overline{d} \in (\mathbb{Z}/n\mathbb{Z})^*$. 

$$d \tilde{A}^{-1} \in \operatorname{Mat}(n, \mathbb{Z}),$$

ve tamsayı (ya da gerçel) girdili bir matrisin tersinin nasıl bulunacağını biliyorsunuz varsayıyorum.

$$\tilde{A} d \tilde{A}^{-1} = d I$$

eşitliğiinde her tarafı modülo $n$ indirirsek, 

$$A \overline{d\tilde{A}^{-1}} = \overline{d} I$$

elde ederiz. Şimdi her iki tarafı da $\overline{d}^{-1} \in (\mathbb{Z}/n\mathbb{Z})^*$ ile çarpalım. Yani sonuç,

$$A^{-1} = B = \overline{d}^{-1} \overline{d \tilde{A}^{-1}}.$$