Iki simetrik pozitif matrisin carpimi

Question

$A$ ve $B$ simetrik pozitif definit iki matris olsun. $AB$ simetrik ise , pozitif definit midir ?

Answer 1

$(AB)^T=B^TA^T=BA$ olduğu için $AB$ nin simetrik olması ancak $AB=BA$  iken olur.

$A$ ve $B$ simetrik olduğundan köşegenleştirilebilir :

Bu durumda,( bu videoda ispatlanıyor), $A$ ve $B$ yi aynı anda  köşegenleştirebiliriz, yani her ikisini de özvektörlerinde oluşan bir baz vardır, eşdeğer olarak: $C^{-1}AC$ ve $C^{-1}BC$ köşegen olacak şekilde bir $C$ vardır. Her ikisi de pozitif definit olduğu için köşegenlerdeki elemanlar pozitif olur.

 $C^{-1}(AB)C=(C^{-1}AC)(C^{-1}BC)$ köşegen olup tüm köşegen elemanları pozitif olur. Bu da, $C^{-1}(AB)C$ nin dolayısıyla $AB$ nin pozitif definit olduğunu gösterir.