Üslü sayılar

Question

$\frac{6^{18}-2^{36}}{3^9+2^9}=8^x.y$ eşitliğinde x ve y pozitif tam sayılardır.

Buna göre en büyük x değeri kaçtır?

Comments

cozum icin neleri denediniz?

---

Yukaridaki ifadeyii carpanlarina ayir

---

Çarpanlarına ayırdım ama ben 3 buldum cevplarda 3 yok

---

$6$ olabilir mi? Ben carpanlara ayirmadim. Sadece $2$'nin kuvvetlerini inceledim.

---

Hocam ikinin kuvvetlerini nasıl incelediniz?Biraz anlatır mısınız?Cevap doğru.

---

$8^x$ icin $2$'nin kuvvetlerini incelemek yeterli. Payda zaten tek. Pay icin de $2^{18}$ parantezine alinca kalan kisin tek. $3x=18$ ise $x=6$ olur.

---

anladım hocam sağolun

Answer 1

$$\frac{2^{18}(3^{18}-2^{18})}{3^{9}+2^{9}}=8^x.y$$

$$2^{18}(3^{9}-2^{9})=8^x.y\Rightarrow 2^{18}(3^{9}-2^{9})=2^{3x}.y$$ olur. Burada $x$'i öyle pozitif tam sayı seçmeliyiz ki $y$ 'de pozitif tam sayı olsun. O zaman, 

$$3x=18\Rightarrow x=6$$ olabilir. Bu durum da hem $x$ hemde $y=3^{9}-2^{9}$ tam sayıdır. 

Ama $x=5$ ise $y=2^3.(3^{9}-2^{9})$ olup yine pozitif bir tam sayıdır.Fakat $x$ küçüldü. 

Ama eğer $x=7$ olarak alınırsa $y=\frac{3^{9}-2^{9}}{2^3}$  bir tam sayı değildir. Bu sebeple $x$'in en büyük değeri ...