Question

$\displaystyle\sum_{k=0}^{\infty} (-1)^k\frac{\text{cos}^3(3^kx)}{3^k}=?$

Answer 1

$4\text{cos}^3x=\text{cos}3x+3\text{cos}x$ eşitliği yardımıyla, $$\begin{equation} 4\text{cos}^3x=\text{cos}3x+3\text{cos}x \\ 4\text{cos}^33x=\text{cos}3^2x+3\text{cos}3x \\ 4\text{cos}^33^2x=\text{cos}3^3x+3\text{cos}3^2x \\ \vdots \\ 4\text{cos}^33^nx=\text{cos}3^{n+1}x+3\text{cos}3^nx \end{equation}$$ eşitlikleri elde edilir. Bu eşitliklerin her iki tarafını sırasıyla $1, -\frac{1}{3}, \frac{1}{3^2},\dots,(-1)^n\frac{1}{3^n}$ çarptıktan sonra taraf tarafa toplarsak, $$\begin{equation} 4\displaystyle\sum_{k=0}^{n} (-1)^k\frac{\text{cos}^3(3^kx)}{3^k}=3\text{cos}x+(-1)^n\frac{1}{3^n}\text{cos}3^{n+1}x \end{equation}$$ ifadesi elde edilir ki bu da tam olarak $$\begin{equation} \displaystyle\sum_{k=0}^{\infty} (-1)^k\frac{\text{cos}^3(3^kx)}{3^k}=\frac{3}{4}\text{cos}x \end{equation}$$ demek.

Comments

Çok güzel bir çözüm.