$\sum_{n=0}^{\infty }\frac{1}{\left( n^{2}\right) !}$ ve $\sum_{n=1}^{\infty }\frac{1}{\left( n!\right) ^{2}}$ serilerinin toplamları?

Question

Birbirine kısmen benzeyen yukarıdaki iki serinin toplamlarının değerini sormak istiyorum 

Bunlardan ilkine Matematik kafası benzeri sayfalarda rastladım, acaba bu toplam için ne söylenebilir? Hatta daha genel halde $\left( n^{2}\right)$ yerine $k>0$ olmak üzere $\left( n^{k}\right)$ alınırsa toplam için kapalı bir form elde edilebilir mi? Muhtemelen çok zor bir soru.

Answer 1

İkinici serinin toplamı için bir fikir:

$e^{z}=\sum_{n=0}^{\infty }\frac{z^{n}}{n!}$

eşitliğinde $$z=\cos x+i\sin x$$

($-\pi \leq x\leq \pi$) yazalım. 

Sol taraf

$e^{\cos x+i\sin x}=e^{\cos x}\left( \cos \left( \sin x\right) +i\sin \left(\sin nx\right) \right)$

ve sağ tarafı

$\sum_{n=0}^{\infty }\frac{\cos \left( nx\right) +i\sin \left( nx\right) }{n!}=\sum_{n=0}^{\infty }\frac{\cos \left( nx\right) }{n!}+i\sum_{n=0}^{\infty }\frac{\sin \left( nx\right) }{n!}$

olarak yazıp reel ve sanal kısımları eşitlersek, ($-\pi \leq x\leq \pi$) olmak üzere

$\sum_{n=0}^{\infty }\frac{\cos \left( nx\right) }{n!}=e^{\cos x}\cos \left(\sin x\right)$

ve

$\sum_{n=1}^{\infty }\frac{\sin \left( nx\right) }{n!}=e^{\cos x}\sin \left(\sin x\right)$

elde edilir. Fourier serileri için Parseval eşitliği kullanılırsa,

$f\left( x\right) =\sum_{n=1}^{\infty }b_{n}\sin \left( nx\right)$ ,

($0 \leq x\leq \pi$) olmak üzere

$\sum_{n=1}^{\infty }b_{n}^{2}=\frac{2}{\pi }\int_{0}^{\pi }|f\left( x\right)|^{2}dx$

sağlanır. O halde

$\sum_{n=1}^{\infty }\frac{1}{\left( n!\right) ^{2}}=\frac{2}{\pi }\int_{0}^{\pi }e^{2\cos x}\sin ^{2}\left( \sin x\right) dx$

olur.

Not: Bu integralin (ve söz konusu serinin) değeri için basit bir formülün bulunabileceğini sanmıyorum.

Answer 2

Doğrudan cevap olmamakla birlikte, ikinci seri hakkında önemli bir şey söyleyebilirim.

İddia: $S=\displaystyle\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{(n!)^2}$ sayısı irrasyoneldir.

Kanıt: Diyelim ki rasyonel olsun, bu durumda $S=\frac{p}{q}$ yazabiliriz, $q$ sayısını pozitif almakta bir sakınca yok. O halde, $$\begin{equation} q!(q-1)!p=(q!)^2S=\displaystyle\sum_{n=1}^\infty \big(\frac{q!}{n!}\big)^2=\displaystyle\sum_{n=1}^q \big(\frac{q!}{n!}\big)^2+\displaystyle\sum_{n=q+1}^\infty \big(\frac{q!}{n!}\big)^2\end{equation}$$ ifadesinden $\displaystyle\sum_{n=q+1}^\infty \big(\frac{q!}{n!}\big)^2\in\mathbb{Z}$ olduğu sonucu çıkar. Diğer yandan, $$\begin{equation}0<\displaystyle\sum_{n=q+1}^\infty \big(\frac{q!}{n!}\big)^2<\frac{1}{(q+1)^2}+\frac{1}{(q+1)^2(q+2)^2}+\frac{1}{(q+1)^2(q+2)^4}+\dots\end{equation}$$ olur ki sondaki ifade $\frac{(q+2)^2}{(q^2+4q+3)(q+1)^2}$ ifadesine eşit olduğundan, $\displaystyle\sum_{n=q+1}^\infty \big(\frac{q!}{n!}\big)^2\leq \frac{9}{32}$ sonucu çıkar. Çelişki.