Question

İntegralin asıl değeri , ingilizcesi "principal value of an integral" olan durum nedir açıklar mısınız?

Comments

Ek kaynak,          

Answer 1

$\int_{-1}^2\frac1x\,dx$ integralini düşünelim.

Bu gibi (fonksiyon (="integrand" 0 yakınında sınırsız olduğundan)  integrallere "özge integral","has olmayan integral" veya (İngilizceden gelme) "impropr integral"  gibi adlar (ingilizce "improper integral")

veriliyor.

Bunlar için serilerdekine benzer bir yakınsaklık tanımı var ama o tanıma göre ($\displaystyle\lim_{\varepsilon\to0^+}\int_{-1}^{-\varepsilon}\frac1x\,dx$ ve $\displaystyle\lim_{\varepsilon\to0^+}\int_\varepsilon^2\frac1x\,dx$ limitleri var olmadığı için) ıraksak oluyor. 

Ama bir hile ile integralleri birleştirdiğimizde toplamın limit var oluyor.

Ama $\displaystyle\lim_{\varepsilon\to0^+}\int_{-1}^{-\varepsilon}\frac1x\,dx+\int_\varepsilon^2\frac1x\,dx$ limiti var (bulması zor değil)

 Bu limite, $\int_{-1}^2\frac1x\,dx$ integralininin "esas değeri" (principal value) deniyor.

Böyle bir çok integral var.

Serilerde de benzer durum olabiliyor. Örneğin  (DÜZELTME)

$$\sum_{-\infty}^{+\infty}\frac1{n+\frac12}$$

serisinde de benzer durum oluyor. Ayrı ayrı 

$$\sum_{-\infty}^0\frac1{n+\frac12} \textrm{ ve } \sum_1^{+\infty}\frac1{n+\frac12}$$

serilerini her ikisi de ıraksaktır. Bu nedenle (standart tanıma göre) 

$$\sum_{-\infty}^{+\infty}\frac1{n+\frac12}$$ ıraksaktır. Ama

$$\lim_{N\to+\infty}\sum_{n=-N}^{N}\frac1{n+\frac12}=0$$ dır.

Benzer durum:

$$\sum_{n\in\mathbb{Z}}n$$ de de oluyor.

Comments

Harmonik seri yakınsaktır demişim, elbette ki ıraksaktır. Düzelttim.

---

Hocam elinize sağlık, ama zaten tam olarak kavrayamadıgım olay da bu eş olan sonsuz diye bir kavram ortaya çıkıyor sanırım. $\infty-\infty$ tanımsız/belirsiz diyoruz ama toplam formuna sokarsak 0 mı buluyoruz.Gerçekten çok ilginç ve güzel .

---

Seri örneğinde bir saçmalık vardı düzelttim.

---

Aynen hocam $n=0$ için $1/n$ tanımsız oluyordu , şimdi daha güzel gözüküyor.teşekkürler.