Doğal sayılardan başlayarak Tamsayılar kümesini nasıl kurabilirim?

Question

Birkaç kaynakta 1-2 tane farklı şekilde gördüm ama öncelikle Peano aksiyomlarını söylesem sonra bunları ispatlarsam ek olarak n bir doğal sayı olmak üzere toplama işlemine göre tersi -n şeklinde olduğunu gösterebillirsem tam sayılar kümesini kurmuş olabilir miyim? Veya peano aksiyomlarından yola çıkarak kurabilir miyim?

Not: $0\in \mathbb{N}$ kabul ediyorum.

Comments

az biraz ilgili olabilir.
http://matkafasi.com/65933/star%24%24-star%24reel-sayilarin-insaasi-gereken-aksiyomlar%24-star%24%24

Answer 1

Doğal sayılardan başlayarak dediğinize göre doğal sayı, doğal sayılar kümesi, doğal sayılarda eşitlik, doğal sayılarda toplama, doğal sayılarda çarpma, doğal sayılarda sıralama vs gibi kavramları bildiğinizi varsayarak cevaplıyorum.

$\mathbb{N}$ doğal sayılar kümesi olmak üzere

$$\beta=\{((a,b),(c,d))|a+_{\mathbb{N}}d=_{\mathbb{N}}b+_{\mathbb{N}}c\}\subseteq\mathbb{N}^2\times\mathbb{N}^2$$ bağıntısı bir denklik bağıntısıdır. İspatını egzersiz olarak size bırakıyorum.

$\mathbb{N}^2$ üzerinde bir denklik bağıntısı olan $\beta$ denklik bağıntısına göre oluşan denklik sınıflarının her birine bir tamsayı; denklik sınıflarının oluşturduğu oran (bölüm) kümesine de tamsayılar kümesi denir. 

$$\mathbb{Z}:=\mathbb{N}^2/\beta=\left\{[(a,b)]\big{|}(a,b)\in\mathbb{N}^2\right\}$$