Question

x ve y tamsayı olmak üzere,

$|x|+|y|\leq 10$ eşitsizliğini sağlayan kaç farklı $(x,y)$ sıralı ikilisi vardır ?

Comments

$n^2 + (n+1)^2$

Answer 1

İpucu: 

$$\beta=\left\{(x,y)\big{|}|x|+|y|\leq 10, (x,y)\in\mathbb{R}^2\right\}$$ bağıntısının grafiğini çiz. Baklava dilimine benzer bir şekil karşına çıkacak. Bu baklava dilimine benzer şeklin içinde kalan tamsayı ikililerini tespit etmeye çalış. Kareli bir kağıt üzerinde çalışırsan daha kolay bulabilirsin.

Comments

grafiğini çizdimde, grafikten nasıl 221 gelecek orası x :)

Answer 2

Genel olarak formulu $4\frac{n(n+1)}{2}+1$. Bunu nasil buluruz, orijin disinda bolgeleri tek esenli sekilde $4$'e ayirinca her bolgeye $1+2+\cdots+n$ nokta duser. 

Comments

Burada $n$ nedir?       

---

$n$ okuyucunun bulmasi gereken bir sabit. Genelde dogal sayi olur. O kismi okuyucuya biraktim.

---

formülde n 10 yazınca cevap 221 çıkıyor.çayda içmiyorum soruyla :|

Answer 3

Bunun için $|x|+|y|=10,9,8,\cdots,0$ ikililerini düşünebiliriz, $|x|=a$ ve $|y|=b$ diyelim $a,b\geq 0$ olduğunu bildiğimiz için $$\\a+b=10\text{  ise  }\Rightarrow \dbinom{10+2-1}{2-1}=11\\a+b=9\text{  ise  }\Rightarrow \dbinom{9+2-1}{2-1}=10\\a+b=8\text{  ise  }\Rightarrow \dbinom{8+2-1}{2-1}=9\\a+b=7\text{  ise  }\Rightarrow \dbinom{7+2-1}{2-1}=8\\a+b=6\text{  ise  }\Rightarrow \dbinom{6+2-1}{2-1}=7\\a+b=5\text{  ise  }\Rightarrow \dbinom{5+2-1}{2-1}=6\\a+b=4\text{  ise  }\Rightarrow \dbinom{4+2-1}{2-1}=5\\a+b=3\text{  ise  }\Rightarrow \dbinom{3+2-1}{2-1}=4\\a+b=2\text{  ise  }\Rightarrow \dbinom{2+2-1}{2-1}=3\\a+b=1\text{  ise  }\Rightarrow \dbinom{1+2-1}{2-1}=2\\a+b=0\text{  ise  }\Rightarrow 1 \text{   durum vardır   }$$ Şimdi burada şöyle bir püf nokta var: Her ikisinin de $0$ olduğu, yani toplamlarının sıfır olduğu durum hariç geri kalanlar $4$ ile çarpılır. Neden? Çünkü $a=|x|$ ve $2$ değer alabiliyor, aynı şekilde $b=|y|$ ve o da $2$ değer alabiliyor. (Biri $>0$, biri $<0$ olmak üzere) Mesela $11$ toplamlı da $9$ tane $0$'sız ikili var ve $2$ tane $0$'lı ikili var $9\cdot4+2\cdot2=9\cdot4+4$ bana istenen ikiliyi verecektir. Aynı mantıkla gidebildiğimiz kadar gideceğiz; $$9\cdot4+4+8\cdot4+4+7\cdot4+4+6\cdot4+4+5\cdot4+4+4\cdot4+4+3\cdot4+4+2\cdot4+4+1\cdot4+4+0\cdot4+4+ ''1''$$   $$=4\cdot\dfrac{(9+8+7+\cdots+1)\cdot10}{2}+4\cdot10+''1''=180+40+1=221$$

Burada , $n=10$ dersek $$4\cdot\dfrac{(n-1)n}{2}+4n+1=4\cdot\dfrac{n(n+1)}{2}+1$$ Sercan Hocanın geçen cevapta kullandığı formül geliyor...

Answer 4

$n^2 + (n+1)^2$ formülünü kullanırsak, $n=10$ için $10^2+11^2=221$ olarak cevap bulunur.

Comments

Bu formul nereden geliyor?

Answer 5

Soruyu Pick Teoremi kullanarak da çözebiliriz: Oluşan karenin sınırındaki/üzerindeki latis noktalarının (koordinatları tam sayı olan noktalar) sayısı (köşeler hariç bir kenar üzerinde $9$ latis noktası ve $4$ köşe olduğundan) $4.9+4=40$ tanedir. Yani Pick teoremindeki $B$ değeri $40$ dir. Karenin alanı $A=(10\sqrt{2})^2=200$ olur. İç bölgedeki latis sayısı $I$ ile gösterilirse Pick teoreminden $$A=\dfrac{B}{2}+I-1$$   $$201=I+20$$ yani $I=181$ bulunur. Buna sınırlar üzerindeki Latislerin sayısını eklersek yanıt $181+40=221$ bulunur.