$\displaystyle\int_{-a}^af(x)dx=2\displaystyle\int_0^af(x)dx$ kosulu $f$ fonksiyonunun cift olmasini gerektirir mi?

Question

$f$ gercel sayilar uzerinde surekli bir fonksiyon olsun. Her $a \ge 0$ icin

$$\int_{-a}^af(x)dx=2\int_0^af(x)dx$$ esitligi saglaniyorsa $f$ cift fonksiyon olmak zorunda mi? 

Comments

a=0 iken gerektirmez. Güzel soru.(en sevdiğim sorulardan:) )

---

Her $a$ icin :)

Answer 1

Verilen eşitlikten her $t$ için $\int_0^{-t} f(x)dx=-\int_0^t f(x)dx$ olduğu görülebilir. $F(t)=\int_0^t f(x)dx$ olsun. Bu durumda her $t$ için $F(-t)=-F(t)$ olur. Analizin temel teoremini ve zincir kuralını kullanırsak her $t$ için

$$-f(t)=-F'(t)=F'(-t).-1=-f(-t)$$

olacaktır. Yani $f$ fonksiyonu çift bir fonksiyondur.

Answer 2

$$f(x)=\left\{ \begin{array} {ccc} -1 & , & (-2,-1] \cup (0,1] \\ 1 & , & (-1,0]\cup (1,2) \end{array}\right.$$ kuralı ile verilen $f$ fonksiyonu söz konusu koşulu sağlamasına karşın çift değildir.

Comments

"$f$ gercel sayilar uzerinde surekli" olmali.

---

$f$ fonksiyonu söz konusu şartları neden sağlıyor? $a=1$ için $\int_{-1}^1 f(x)dx$ değeri 0 olduğu halde $2 \int_0^1 f(x)dx$ değeri -2 değil mi?

---

Haklısınız. Orayı atlamışım.

Answer 3

Sercan hocamızın ipucundan yola çıktım;

Olmayana ergi yaparak bu bir çift fonksiyon değildir dolayısıyla 

herhangi bir $a$ reel sayısı  için   $f(a)\neq f(-a)$  olur derim.

http://matkafasi.com/62762/dfrac-left-left-right-left-left-right-right-right-ile-ilgili

bu linkteki hatayı yapmayalım

$\displaystyle\int f(x)dx=F(x)$ diyelim

verilen eşitliği yapalım

$[F(x)]^{^{a}}_{_{-a}}=2.[F(x)]^{^{a}}_{_{0}}$

$F(a)-F(-a)=2.F(a)$ türev alırsak

$f(a)+f(-a)=2.f(a)$

$f(a)=f(-a)$ bulduk bu eşitlik sağlandı ama fonksiyonun çift olmamasına ergi yaptık dolayısıla çeliştik ve sonuç...

Her a için bu $f$ fonksiyonu çiftmiş

Comments

Bu benim ipucu degil ki, Burak'in cozumunun aynisi olmus. Bastaki kabulu yapmasan da olurdu hatta:)

---

-a +a aldık hocam işte:D büyük bir fail mi oldum:)

---

Ben komsuluk al demistim :)

---

komşuluklu nasıl yapıyoruz hocam. 10gün geçmiş vay be.

---

Aylar gecti.