Birler basamağı kaçtır?

Question

$(0!+5!+10!+ ... + 85!)$ $+$ $(2!+6!+10!+ ... + 42!)$ 

$Doğru$ $cevap:$ $3$

Comments

Cevabi yerine yaptiklarinizi paylasmaniz daha iyi olurdu.

---

Şöyle bir yöntem ile çözdüm ancak doğruluğunu kanıtlayamıyorum. Şimdi ilk verilen değerlerde 0! var. o 1'e  eşit.  Ve 5!'den sonrası içerisinde 5 çarpanı olduğu için 5'e tam bölünüyor. Yani; sonu ya 1 olacak ya da 6 olacak. Çünkü 5'e tam bölünebilmesi için birler basamağıdnaki sayının 0 veya 5 olması lazım. 

2. parantezde ise 2! var ve 2'ye eşit.  Başka 5!'den küçük sayı olmadığı için oda yine aynı ya sonu 2 olacak yada 7.  Şimdi  1+2=3  6+7=13  bize birler rakamını sorduğu için 3 olur.

---

$a>4$ bir doğal sayı olmak üzere $a!$ şeklindeki sayıların hepsinin içinde hem $2$ hemde $5$ çarpanı bulunduğundan bu sayıların birler basamağı $0$ dır. Böylece verilen toplamın birler basamağı $0!$ ile $2!$'in toplamından gelir. Yani bu da $3$ tür.

---

Şimdi anladım. 2'yi de değerlendirmek gerekiyormuş! Teşekkürler.

Answer 1

Yontemin cozum icin iyi bir baslangic. Mehmet Toktas'in yorumunu da cevaba aktarayim:

$a>4$ ise $a!$ icerisinde hem $2$, hem de $5$ carpani olacagindan $a!$ sayisi $10$'a bolunur ve son basamagi dolayisiyla sifir olur.

Bu nedenle son basamagi $0!+2!$ belirler. Bu da $3$'e esit.