Türevde Çarpma Kuralı İspatı-Ezber bozuyoruz-2-

Question

$\zeta(z)=u(z).g(z)$ olsun.

İspatlayalım $\zeta'(z)=u'(z).g(z)+u(z).g'(z)$

Answer 1

$f$ ve $g$ fonksiyonlari $x$ noktasinda turevlenebiliyorsa $fg$ fonksiyonu da $x$ noktasinda turevlenebilir ve de turevi  $$(fg)^\prime(x)=\lim\limits_{h \to 0} \dfrac{f(x+h)g(x+h)-f(x)g(x)}{h}$$ $$=\lim\limits_{h \to 0} \dfrac{f(x+h)g(x+h)-f(x)g(x+h)+f(x)g(x+h)-f(x)g(x)}{h}$$ $$=\lim\limits_{h \to 0}\left[ \dfrac{f(x+h)-f(x)}{h}g(x+h)+f(x) \dfrac{g(x+h)-g(x)}{h}\right]$$ $$=f^\prime(x)g(x)+f(x)g^\prime(x)$$ olur.

Comments

güzel ve kısa olmuş bravo!

ama üstteki cevap daha güzel olmuş:)

---

Birileri bu kisa ve goz yormayan cevap varken onu okurlarsa belki guzelligini fark ederler :)

Answer 2

ispatım 
http://matkafasi.com/67909/zincir-kurali-ispati-ezber-bozuyoruz-1
dan
daha kolay ve tanımsızlık şüphesi bırakmayacak şekilde tasarlamağa çalışılmıştır.


amacımız $u'(x)=f'(x).g(x)+f(x).g'(x)$ olduğunu ispatlamak


yani    $\lim_{\triangle x\rightarrow 0}\dfrac{\triangle u}{\triangle x}$  göstermek....

------------------------------------------------------------------------------------------

$u(x)=f(x).g(x)$ olarak tanımlansın.

 
$\triangle f(x)=f(x +\triangle x)-f(x)$    $\Longrightarrow$    $f(x +\triangle x)=\triangle f(x)+f(x)$

$\triangle g(x)=g(x +\triangle x)-g(x)$    $\Longrightarrow$    $g(x +\triangle x)=\triangle g(x)+g(x)$

$u(x)=f(x).g(x)$

$x$ yerine $x+\triangle x$  yazalım.

$u(x+\triangle x)=f(x+\triangle x).g(x+\triangle x)$

------------------------------------------------------------------------------------------

$\triangle u(x)=u(x+\triangle x)-u(x)$

$\triangle u(x)=f(x+\triangle x).g(x+\triangle x)-f(x).g(x)$

$\lim_{\triangle x\rightarrow 0}\dfrac{\triangle u}{\triangle x}$  olarak yazarsak yerlerine yazalım


$\lim_{\triangle x\rightarrow 0}\dfrac{f(x+\triangle x).g(x+\triangle x)-f(x).g(x)}{\triangle x}$ 

yukardaki eşitliklerden $g(x+\triangle x)$     ve     $f(x+\triangle x)$  leri yerlerine koyalım.

$\lim_{\triangle x\rightarrow 0}\dfrac{[\triangle f(x)+f(x)].[\triangle g(x)+g(x)]-f(x).g(x)}{\triangle x}$ 

dağıtmaları yapalım.....



$\lim_{\triangle x\rightarrow 0}\dfrac{\triangle f(x).\triangle g(x)+\triangle f(x).g(x)+\triangle g(x).f(x)+\underbrace{f(x).g(x)-f(x).g(x)}_0}{\triangle x}$ 

kalanları düzenlersek

$\star$  $\lim_{\triangle x\rightarrow 0}\dfrac{\triangle u}{\triangle x}=\lim_{\triangle x\rightarrow 0}\dfrac{\triangle f(x).\triangle g(x)}{\triangle x}+\dfrac{\triangle f(x).g(x)}{\triangle x}+\dfrac{\triangle g(x).f(x)}{\triangle x}$ 



$\lim_{\triangle x\rightarrow 0}\dfrac{\triangle f(x).g(x)}{\triangle x}=f'(x).g(x)$  demektir.

$\lim_{\triangle x\rightarrow 0}\dfrac{\triangle g(x).f(x)}{\triangle x}=g'(x).f(x)$  demektir.

$\lim_{\triangle x\rightarrow 0}\dfrac{\triangle f(x).\triangle g(x)}{\triangle x}$  ne demek bilmiyoruz

burdan sonra tek birşey kaldı o da 


$lim_{\triangle x \rightarrow 0}\dfrac{\triangle f(x).\triangle g(x)}{\triangle x}$  nun ne olduğunu göstermek...


$lim_{\triangle x \rightarrow 0}\dfrac{\triangle f(x).\triangle g(x)}{\triangle x}=lim_{\triangle x \rightarrow 0}\dfrac{\triangle f(x)}{\triangle x}.\triangle g(x)=lim_{\triangle x \rightarrow 0}\dfrac{\triangle g(x)}{\triangle x}.\triangle f(x)$

hangisini alırsanız alın ben 

$lim_{\triangle x \rightarrow 0}\dfrac{\triangle g(x)}{\triangle x}.\triangle f(x)$ üstünden göstermek istiyorum,bu ifadeyi düzenlersek

$\triangle f(x)=f(x +\triangle x)-f(x)$  'u kullanarak


$lim_{\triangle x \rightarrow 0}\dfrac{\triangle g(x)}{\triangle x}.\triangle f(x)=lim_{\triangle x \rightarrow 0}\dfrac{\triangle g(x)}{\triangle x}.\underbrace{lim_{\triangle x \rightarrow 0}(f(x +\triangle x)-f(x))}_0$


dolayısıyla

$lim_{\triangle x \rightarrow 0}\dfrac{\triangle g(x)}{\triangle x}.0=0$  olucaktır.



$\star$  $\lim_{\triangle x\rightarrow 0}\dfrac{\triangle u}{\triangle x}$

   $=$

$u'(x)=\underbrace{\lim_{\triangle x\rightarrow 0}\dfrac{\triangle f(x).\triangle g(x)}{\triangle x}}_0+\dfrac{\triangle f(x).g(x)}{\triangle x}+\dfrac{\triangle g(x).f(x)}{\triangle x}$ 


yukarıda da açıkca belirtildiği üzre

$u'(x)=f'(x).g(x)+f(x).g'(x)$   ispatlanır $\Box$

Comments

Neden $\triangle$ notasyonu?

---

çok karizmatik duruyor ve insanların aklında kalan "değişim sembolü" ne denk geliyor bu notasyon.

---

Demek ki karizma anlayislarimiz fakliymis :)

---

notasyon öneriniz ,bölmeyide öyle ispatlıyım:)

---

http://matkafasi.com/67909/zincir-kurali-ispati-ezber-bozuyoruz-1  bide bu var.

---

Dogan hocam daha iyi bilir :)

---

Notasyon onerim cevabimdaki gibi.

---

bu cevap daha guzel :D