ispatım
http://matkafasi.com/67909/zincir-kurali-ispati-ezber-bozuyoruz-1
dan
daha kolay ve tanımsızlık şüphesi bırakmayacak şekilde tasarlamağa çalışılmıştır.
amacımız u'(x)=f'(x).g(x)+f(x).g'(x) olduğunu ispatlamak
yani \lim_{\triangle x\rightarrow 0}\dfrac{\triangle u}{\triangle x} göstermek....
------------------------------------------------------------------------------------------
u(x)=f(x).g(x) olarak tanımlansın.
\triangle f(x)=f(x +\triangle x)-f(x) \Longrightarrow f(x +\triangle x)=\triangle f(x)+f(x)
\triangle g(x)=g(x +\triangle x)-g(x) \Longrightarrow g(x +\triangle x)=\triangle g(x)+g(x)
u(x)=f(x).g(x)
x yerine x+\triangle x yazalım.
u(x+\triangle x)=f(x+\triangle x).g(x+\triangle x)
------------------------------------------------------------------------------------------
\triangle u(x)=u(x+\triangle x)-u(x)
\triangle u(x)=f(x+\triangle x).g(x+\triangle x)-f(x).g(x)
\lim_{\triangle x\rightarrow 0}\dfrac{\triangle u}{\triangle x} olarak yazarsak yerlerine yazalım
\lim_{\triangle x\rightarrow 0}\dfrac{f(x+\triangle x).g(x+\triangle x)-f(x).g(x)}{\triangle x}
yukardaki eşitliklerden g(x+\triangle x) ve f(x+\triangle x) leri yerlerine koyalım.
\lim_{\triangle x\rightarrow 0}\dfrac{[\triangle f(x)+f(x)].[\triangle g(x)+g(x)]-f(x).g(x)}{\triangle x}
dağıtmaları yapalım.....
\lim_{\triangle x\rightarrow 0}\dfrac{\triangle f(x).\triangle g(x)+\triangle f(x).g(x)+\triangle g(x).f(x)+\underbrace{f(x).g(x)-f(x).g(x)}_0}{\triangle x}
kalanları düzenlersek
\star \lim_{\triangle x\rightarrow 0}\dfrac{\triangle u}{\triangle x}=\lim_{\triangle x\rightarrow 0}\dfrac{\triangle f(x).\triangle g(x)}{\triangle x}+\dfrac{\triangle f(x).g(x)}{\triangle x}+\dfrac{\triangle g(x).f(x)}{\triangle x}
\lim_{\triangle x\rightarrow 0}\dfrac{\triangle f(x).g(x)}{\triangle x}=f'(x).g(x) demektir.
\lim_{\triangle x\rightarrow 0}\dfrac{\triangle g(x).f(x)}{\triangle x}=g'(x).f(x) demektir.
\lim_{\triangle x\rightarrow 0}\dfrac{\triangle f(x).\triangle g(x)}{\triangle x} ne demek bilmiyoruz
burdan sonra tek birşey kaldı o da
lim_{\triangle x \rightarrow 0}\dfrac{\triangle f(x).\triangle g(x)}{\triangle x} nun ne olduğunu göstermek...
lim_{\triangle x \rightarrow 0}\dfrac{\triangle f(x).\triangle g(x)}{\triangle x}=lim_{\triangle x \rightarrow 0}\dfrac{\triangle f(x)}{\triangle x}.\triangle g(x)=lim_{\triangle x \rightarrow 0}\dfrac{\triangle g(x)}{\triangle x}.\triangle f(x)
hangisini alırsanız alın ben
lim_{\triangle x \rightarrow 0}\dfrac{\triangle g(x)}{\triangle x}.\triangle f(x) üstünden göstermek istiyorum,bu ifadeyi düzenlersek
\triangle f(x)=f(x +\triangle x)-f(x) 'u kullanarak
lim_{\triangle x \rightarrow 0}\dfrac{\triangle g(x)}{\triangle x}.\triangle f(x)=lim_{\triangle x \rightarrow 0}\dfrac{\triangle g(x)}{\triangle x}.\underbrace{lim_{\triangle x \rightarrow 0}(f(x +\triangle x)-f(x))}_0
dolayısıyla
lim_{\triangle x \rightarrow 0}\dfrac{\triangle g(x)}{\triangle x}.0=0 olucaktır.
\star \lim_{\triangle x\rightarrow 0}\dfrac{\triangle u}{\triangle x}
=
u'(x)=\underbrace{\lim_{\triangle x\rightarrow 0}\dfrac{\triangle f(x).\triangle g(x)}{\triangle x}}_0+\dfrac{\triangle f(x).g(x)}{\triangle x}+\dfrac{\triangle g(x).f(x)}{\triangle x}
yukarıda da açıkca belirtildiği üzre
u'(x)=f'(x).g(x)+f(x).g'(x) ispatlanır \Box