Question

Açı açı benzerlik teoremini ifade ve ispat ediniz.

Answer 1

Öncelikle iki üçgenin benzerliğinin tanımını yapalım: $ABC$ ve $DEF$  üçgenlerinin köşeleri arasında  $A\leftrightarrow D$,$\quad$ $B\leftrightarrow E$,$\quad$$C\leftrightarrow F$, şeklinde bir eşleme bulunsun. Eğer eşleşen köşelerdeki iç açı(ya da dış açı) ölçüleri eşit ve bu köşelerin karşısındaki kenar uzunlukları da orantılı ise bu üçgenlere benzer üçgenler, kenar uzunlukları oranına da benzerlik oranı denir. $ABC$ üçgeni ile $DEF$ üçgenleri benzer ise bunu $ABC\sim DEF$ biçiminde gösteriyoruz. 

Benzerlikle ilgili bir çok teorem teorem vardır. Şimdi onlardan birisi olan ve Açı,Açı,Açı (A.A.A) diye de bilinen teoremi ispatlayalım.

Teorem: İki üçgenin karşılıklı iki iç açısının ölçüsü eşitse bu üçgenler benzerdir. 

Hip: $ABC$ ile $DEF$ üçgenleri veriliyor. $m(\widehat{A})=m(\widehat{D}),\quad m(\widehat{B})=m(\widehat{E})$ dir.

Hük: $ABC\sim DEF$ dir.

İspat: Hipotezde verilen eşitlikleri taraf tarafa toplayalım. $m(\widehat{A})+m(\widehat{B})=m(\widehat{D})+m(\widehat{E})$ dir. Bir üçgenin iç açı ölçüleri toplamı $180^0$ olduğundan, $180-(m(\widehat{A})+m(\widehat{B}))=180-(m(\widehat{D})+m(\widehat{E}))\Rightarrow m(\widehat{C})=m(\widehat{F})$ olur. Böylece benzerliğin ilk koşulu sağlanmış olur. Şimdi de kenarlarının orantılı olduğunu gösterelim. Bu iki üçgeni $A$ ile $D$ köşesi ,$[AB]$ ile $[DE]$ kenarları çakışacak şekilde üst üste getirelim. Bu durumda $[AC]$ ile $[DF]$ de çakışacaktır. Ancak $[BC]$ ile $[EF]$ çakışmayabilir. Bu şekil de $[EF]//[BC]$ dir. Çünkü yöndeş durumlu açıların ölçüleri eşittir. Bu yüzden Thales teoreminden $\frac{|AE|}{|AB|}=\frac{|AF|}{|AC|}=\frac{|EF|}{|BC|}\Rightarrow \frac{f}{c}=\frac{e}{b}=\frac{d}{a}$ olur. Bu da   $ABC\sim DEF$ dir.