Question

Temel orantı teoreminin karşıtını ifade ve ispat ediniz.(notasyon kullanılacak)

Answer 1

Bir $ABC$ üçgeninin $[AB]$ ve $[AC]$ kenarlarını sırası ile $D,E$ noktalarında kesen bir kesen için $\frac{|AD|}{|DB|}=\frac{|AE|}{|EC|}$ orantısı varsa, bu kesen $[BC]$ kenarına paraleldir.Yani $[DE]//[BC]$ dir.

Hip: $ABC$ bir üçgen, $\frac{|AD|}{|DB|}=\frac{|AE|}{|EC|}$,

Hük: $[DE]//[BC]$ dir.

ispat: $B$ noktasından $[DE]$'ye çizeceğimiz paralel doğru $[AC]$'yi $F$ noktasında kessin. O zaman Temel Orantı Teoreminden : $\frac{|AD|}{|DB|}=\frac{|AE|}{|EF|}\rightarrow |EF|=\frac{|AE|.|DB|}{|AD|}..........(1)$ olur.

 Öte yandan hipotezden verilen eşitlikten:$\frac{|AD|}{|DB|}=\frac{|AE|}{|EC|}\Rightarrow |EC|=\frac{|AE|.|DB|}{|AD|}..........(2)$ olur.$(1),(2)$ eşitliklerinin sağ tarafları eşit olduğundan sol tarafları da eşittir. Yani $|EF|=|EC|$ olur. Bu da $F$ noktası ile $C$ noktasının çakışık olduğunu gösterir. O halde $[DE]//[BF]//[BC]$ dir.