resimdeki grafigin en az dereceli polinom icin bır formul bulunuz

Question

Answer 1

Mavi renkli fonksiyonumuzu sağa doğru 1 birim (kırmızı), yukarı doğru 1 birim (yeşil) öteleyelim.

Resimde belirtilen yeni yeşil renkli fonksiyonumuzun grafiğine göre,

$f(0)=0 \\ f(2)=f(-2)=1 \\ f'(0)=0 \\ f'(2)=f'(-2)=0 \\ f''(0)>0 \text{ lokal minimum} \\ f''(2)<0 \text{ lokal maksimum} \\ f''(-2)<0 \text{ lokal maksimum}$

ifadelerini sağlayabilecek bir fonksiyon bulmalıyız.

Fonksiyonumuz $y$ eksenine göre simetrik olduğundan, çift katlı köklüdür.

$f(x)=ax^2+b$ olarak seçersek, yukarıda belirtilen yeterli eşitliği sağlayamaz.

$f(x)=ax^4+bx^2+c$ olarak seçelim.

$f(0)=0 \rightarrow c=0$

$f(x)=ax^4+bx^2$

$f'(x)=4ax^3+2bx$

$f'(0)=0$

$f(2)=f(-2)=16a+4b=1$

$f'(2)=f'(-2)=32a+4b=0$

Bu iki eşitlikten $a=-\dfrac 1 {16}$ ve $b=\dfrac 1 2$ bulunur.

$f(x)=-\dfrac 1 {16}x^4+\dfrac 1 2 x^2$ yazalım.

Diğer eşitlikleri kontrol edelim.

$f''(x)=-\dfrac 3 4 x^2+1$

$f''(0)=1>0$

$f''(2)=-2<0$

$f''(-2)=-2<0$

Bu hâlde fonksiyonumuz tüm gereksinimleri sağlamıştır.

Fonksiyonu aşağı 1 birim öteleyelim. (kırmızı renkli)

$g(x)=f(x)-1=-\dfrac 1 {16}x^4+\dfrac 1 2 x^2-1$

Fonksiyonumuzu sola 1 birim öteleyelim: (mavi renkli)

$h(x)=g(x+1)=-\dfrac 1 {16}(x+1)^4+\dfrac 1 2 (x+1)^2-1$

Comments

Polinom olarak yazalım: $P(x)=-\dfrac{1}{16}x^4-\dfrac{1}{4}x^3+\dfrac{1}{8}x^2+\dfrac{3}{4}x-\dfrac{9}{16}$