Yarıçapı ve çevresi bilinen bir dairenin alanının ispatı

Question

$A$ birşeylerin alanını bulan fonksiyon olsun.
Yarıçapı $r$  ve çevresi $2\pi.r$  olan bir dairemiz olsun neden  $A(daire)$$=\pi.r^2$  dir ispatlayınız.

Comments

Yüksek ihtimalle integralle hesaplanıyordur.Ben beceremem ama bir düşüneyim :)

---

integral degil birşeyler birşeylere yaklaşcak.

---

Şu an şeyi düşünüyorum.Geometride dairede herhangi bir dilimin alanını hesaplarken üçgen gibi hesaplayabiliyoruz.Yani taban çevresi x yarıçap.Üçgenin çevresinde herhangi bir bölümde sonsuz küçüklükte bir parça alalım.Bu parçanın taban çevresini yarıçapla çarpıp riemann toplamıyla hesaplayalım.Deniyorum bakalım sen de dene ben düzgün yapamayabilirim.

---

sen uğraş ben tam çözümünü atıcam senden sonra.

---

Basit olarak şöyle bir şey yaptım bu bir ispat mı değil mi onu da bilmiyorum belki çok saçmadır ama olsun.

Dairenin çevresinde bir yay aldığımızı düşünelim bu yay a uzunluğunda olsun. a= $\frac{2\pi.r}{360}$ olur. $\frac{taban x yarıçap}{2}$ $\frac{2\pi.(r^2)}{360.2}$ = $\frac{\pi.(r^2)}{360}$ buluruz.

Bu 1 derecelik dilimdi. 360 ile çarparsak. $\pi.(r^2)$ buluruz.

Sonsuz parçalı yapamadım o yüzden 1 dereceyle yaptım.

Answer 1

Barizdirki, çokgen köşegen sayısı arttıkça çembere benzemekte ve dolayısıyla alanı çember alanına eşit olmalı.

İspat için;
 
1  $n$  kenarlı bir düzgün çokgen çizilir.

2  Merkezden köşelere uzunluk $r$ seçilir ve köşelerden geçen daire alanı hesaplanmaya başlanılır.

Çokgende $n$ üçgen olacağından  tek bir üçgenin alanından $n$ tane toplamak yeterli ve $n$ sonsuza giderken bu alanın daire alanına yakınsayacagı da aşikâr.



Çokgenin alanı=Üçgen sayısı $\times$ Üçgen alanı

Yani;

Çokgen Alanı:  $n\cdot (rcos\alpha)(rsin\alpha)$

Ve tüm merkez açı $2\pi$ olduğundan ve $n$ üçgene pay edildiğinden;

$\dfrac{2\pi}{n}=2\alpha$ gelir

Çokgen Alanı:  $n\cdot \left(rcos\left(\frac{\pi}{n}\right)\right)\left(rsin\left(\frac{\pi}{n}\right)\right)=nr^2\left(cos\left(\frac{\pi}{n}\right)sin\left(\frac{\pi}{n}\right)\right)=\dfrac{nr^2}{2}\left(sin\left(\frac{2\pi}{n}\right)\right)$

Limit alalım;

$\lim\limits_{n\to \infty}\frac{nr^2}{2}\left(sin\left(\frac{2\pi}{n}\right)\right)$  Belirsizlik olduğundan ;

$\boxed{\boxed{\lim\limits_{a\to 0}=\dfrac{sin(ta)}{ta}=\lim\limits_{n\to \infty}\dfrac{sin\left(\frac{t}{n}\right)}{\frac tn}=1}}$

Bilgisini kullanarak;

$\lim\limits_{n\to \infty}\dfrac{nr^2}{2}\left(sin\left(\frac{2\pi}{n}\right)\right)=\lim\limits_{n\to \infty}\pi r^2\underbrace{\dfrac{\left(sin\left(\frac{2\pi}{n}\right)\right)}{\frac{2\pi}{n}}}_{1}=\pi r^2$  ispatlanır .$\Box$

Comments

Peki, $\lim_{x\to0}\frac{\sin x}{x}=1$ icin cember alanini kullanmadan ispat verebilir misin? 

---

o pdf e bakmadan denicem olmadi bakarim :)

---

haa hem ona gerek yokki ispatta zaten ucgen alani kullandim sinx/x de de taylor kullanirim sikinti kalmaz

---

sinüsün türevini nasıl alacaksın peki?

Answer 2

İpucu $4\int_0^r\sqrt{r^2-x^2}dx=\pi r^2$dir.