
Barizdirki, çokgen köşegen sayısı arttıkça çembere benzemekte ve dolayısıyla alanı çember alanına eşit olmalı.
İspat için;
1 n kenarlı bir düzgün çokgen çizilir.
2 Merkezden köşelere uzunluk r seçilir ve köşelerden geçen daire alanı hesaplanmaya başlanılır.
Çokgende n üçgen olacağından tek bir üçgenin alanından n tane toplamak yeterli ve n sonsuza giderken bu alanın daire alanına yakınsayacagı da aşikâr.
Çokgenin alanı=Üçgen sayısı × Üçgen alanı
Yani;
Çokgen Alanı: n⋅(rcosα)(rsinα)
Ve tüm merkez açı 2π olduğundan ve n üçgene pay edildiğinden;
2πn=2α gelir
Çokgen Alanı: n⋅(rcos(πn))(rsin(πn))=nr2(cos(πn)sin(πn))=nr22(sin(2πn))
Limit alalım;
limn→∞nr22(sin(2πn)) Belirsizlik olduğundan ;
lima→0=sin(ta)ta=limn→∞sin(tn)tn=1
Bilgisini kullanarak;
limn→∞nr22(sin(2πn))=limn→∞πr2(sin(2πn))2πn⏟1=πr2 ispatlanır .◻