
Barizdirki, çokgen köşegen sayısı arttıkça çembere benzemekte ve dolayısıyla alanı çember alanına eşit olmalı.
İspat için;
1 n kenarlı bir düzgün çokgen çizilir.
2 Merkezden köşelere uzunluk r seçilir ve köşelerden geçen daire alanı hesaplanmaya başlanılır.
Çokgende n üçgen olacağından tek bir üçgenin alanından n tane toplamak yeterli ve n sonsuza giderken bu alanın daire alanına yakınsayacagı da aşikâr.
Çokgenin alanı=Üçgen sayısı \times Üçgen alanı
Yani;
Çokgen Alanı: n\cdot (rcos\alpha)(rsin\alpha)
Ve tüm merkez açı 2\pi olduğundan ve n üçgene pay edildiğinden;
\dfrac{2\pi}{n}=2\alpha gelir
Çokgen Alanı: n\cdot \left(rcos\left(\frac{\pi}{n}\right)\right)\left(rsin\left(\frac{\pi}{n}\right)\right)=nr^2\left(cos\left(\frac{\pi}{n}\right)sin\left(\frac{\pi}{n}\right)\right)=\dfrac{nr^2}{2}\left(sin\left(\frac{2\pi}{n}\right)\right)
Limit alalım;
\lim\limits_{n\to \infty}\frac{nr^2}{2}\left(sin\left(\frac{2\pi}{n}\right)\right) Belirsizlik olduğundan ;
\boxed{\boxed{\lim\limits_{a\to 0}=\dfrac{sin(ta)}{ta}=\lim\limits_{n\to \infty}\dfrac{sin\left(\frac{t}{n}\right)}{\frac tn}=1}}
Bilgisini kullanarak;
\lim\limits_{n\to \infty}\dfrac{nr^2}{2}\left(sin\left(\frac{2\pi}{n}\right)\right)=\lim\limits_{n\to \infty}\pi r^2\underbrace{\dfrac{\left(sin\left(\frac{2\pi}{n}\right)\right)}{\frac{2\pi}{n}}}_{1}=\pi r^2 ispatlanır .\Box