a,b,c tek sayilar iken ax2+bx+c denkleminin rasyonel koku olabilir mi?
Mümkün degil kökler toplamı -b/a çarpımı ise c/a a b c tek oldugundan kokler toplamı ve çarpımı aynı zamanda tek olamaz çünki kokler carpımı tek ıse toplamları çift olur çelışkı olur tabi bu rasyonel sayılar için
Fakat -b/a ve c/a tam sayi olmak zorunda degil.
ax2+bx+c=0 denkleminin rasyonel kökü olması için √Δ∈Z olması lazım. O halde b2−4ac=x2 diyebiliriz. Bu durumda b2−x2=4ac olur. x'in kesinlikle tek sayı olması gerektiğini b2 tek sayısından x2 tam sayısını çıkardığımızda çift tam sayı bir sonuç çıkmasından anlayabiliriz. O halde (b−x)(b+x)=4ac olur. b−x, b+x çift sayı olacağından b−x=2a ve b+x=2c olmalı veya b−x=2c ve b+x=2a olmalı. O halde (b+x)−(b−x)=2x=2(a−c) olmalı. x=a−c olduğundan ve x tek sayı olduğundan a veya c'den biri mutlaka çift sayı olmalıdır.
Neden √Δ∈Z olmali.
Tek sayılar dediğimize göre a,b,c∈Z olacak. Kök rasyonel olsun istiyorsak −b±√Δ2a ifadesinde irrasyonel ifade olmayacak. Bu durumda √Δ∈Q olacak fakat başta a,b,c∈Z demiştik o halde √Δ∈Z olacak.
Tamamdir. Ikinci sorum b−x=2a ve b+x=2c olmak zorunda mi. b−x=2u ve b+x=2v, oyle ki uv=ac seklinde de olamaz mi? Yani daha cok secenek.
Pekala mantıklı. Fakat diyelim ki b−x=2u ve b+x=2v bu şartlar altında yine u veya v tam sayılarından biri çift olacak. uv=ac olduğuna göre ac de çift olacak. Sonuçta yine a veya c çift olacak.
ax2+bx+c denkleminin rasyonel kökü olabilmesi için √Δ∈Z olmalıdır. √Δ=√b2−4ac=√b−2√ac.√b+2√ac olduğundan √Δ∈Z olabilmesi için b−2√ac ve b+2√ac ifadelerinin tam kare olması lazım. Bu ifadelerin tam kare olması ise ac=uv olacak şekilde u+v=b olmalıdır. Fakat ac tek ise u ve v de tek olacağından b=u+v eşitliğinde b çift olmak zorunda olur bu da baştaki önermeyle çelişir.
Bunu da bugün hocama sordum o da bu şekilde çözdü.