1+ \frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{4^2}+...=(1+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{4^2}+\frac{1}{8^2}+...)(1+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{9^2}+\frac{1}{27^2}+...)(1+\frac{1}{5^2}+\frac{1}{25^2}+\frac{1}{125^2}+...)(1+\frac{1}{7^2}+\frac{1}{49^2}+\frac{1}{343^2}+...)(1+\frac{1}{P^2}+\frac{1}{(P^2)^2}+...)...
Burada P rastgele asal sayıdır. Eşitliğin sağındaki her parantez içi sonsuz toplam birer geometrik seridir , bu durumda her parantez şöyle yazılabilir ;
[ \frac{1}{1-(\frac{1}{2^2})}] [\frac{1}{1-(\frac{1}{3^2})}] [\frac{1}{1-(\frac{1}{5^2})}]...[\frac{1}{1-(\frac{1}{P^2})}]...=1+ \frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{4^2}+...= \frac{\pi^2}{6} ,
şimdi Euler'in bulduğu şu seriyi gözlemleyelim ;
1+ \frac{1}{2^4}+\frac{1}{3^4}+\frac{1}{4^4}+ \frac{1}{5^4}+...= \frac{\pi^4}{90}
4 kuvvetlerde : kareler toplamı için yaptığımız transforme işlemini tekrar yaparak;
[ \frac{1}{1-(\frac{1}{2^4})}] [\frac{1}{1-(\frac{1}{3^4})}] [\frac{1}{1-(\frac{1}{5^4})}] [\frac{1}{1-(\frac{1}{7^4})}] ...=1+ \frac{1}{2^4}+\frac{1}{3^4}+\frac{1}{4^4}+...=\frac{\pi^4}{90}
burada şunu gözlemlemek kolay sol tarafta iki kare farkları var mesela ;
[\frac{1}{1-(\frac{1}{5^2})}] [\frac{1}{1+(\frac{1}{5^2})}= [\frac{1}{1-(\frac{1}{5^4})}]
şimdi bütün köşeli parantezleri çarpanlarına ayıralım ve ilk başta verdiğimiz kareler toplamı ile verilen seri ile bölelim şunu elde ederiz :
[\frac{1}{1+(\frac{1}{2^2})}] [\frac{1}{1+(\frac{1}{3^2})}] [\frac{1}{1+(\frac{1}{5^2})}] ...=\frac{\pi^2}{15}.
şimdi geriye doğru gidelim . Bir eksi yerine bir artı içeren bu ifadelerin her biri de bir serinin toplamıdır. Gerçekte her seri orjinal seriye çok benzer ; tek fark şimdi işaretler alterne eder:
[1-\frac{1}{2^2}+\frac{1}{4^2}-\frac{1}{8^2}+...] [1-\frac{1}{3^2}+\frac{1}{9^2}-\frac{1}{27^2}+...] [1-\frac{1}{5^2}+\frac{1}{25^2}-\frac{1}{125^2}+...]...=\frac{\pi^2}{15}
Köşeli parantez içindeki serileri çarparsak işaret değişiklikleri hariç terimler orjinal serinin aynısıdır. Eğer bir terim köşeli parantez içindeki çift sayıda terimin çarpımıyla oluştuysa , hala pozitif işaret alacak, tek sayıda terimin çarpımıyla oluştuysa negatif işaret alacaktır. böylece çarpım şudur:
1-\frac{1}{2^2}-\frac{1}{3^2}+\frac{1}{4^2}-\frac{1}{5^2}+\frac{1}{6^2}-\frac{1}{7^2}-\frac{1}{8^2}+\frac{1}{10^2}-\frac{1}{11^2}-\frac{1}{12^2}-\frac{1}{13^2}+...= \frac{\pi^2}{15}
bulduğumuz son seriyi orjinal ilk seriden çıkaralım ve ve sonucun yarısını alalım ;
bu durumda elde edilen seri
\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{5^2}+\frac{1}{7^2}+\frac{1}{8^2}+\frac{1}{12^2}+\frac{1}{13^2}+\frac{1}{17^2}+\frac{1}{18^2}+\frac{1}{19^2}+\frac{1}{20^2}+\frac{1}{23^2}+...=\frac{1}{2}[\frac{\pi^2}{6}-\frac{\pi^2}{15}]=\frac{\pi^2}{20}.
Bu seride , asal çarpanlarının sayısı çift olan bütün doğal sayılar paydadaki doğal sayılar arasından atılmış oldu