$\displaystyle\int_0^1 x^{-x}\,dx$ ve $\displaystyle\sum_{n=1}^\infty n^{-n}$

Question

$$\begin{align}\int_0^1 x^{-x}\,dx &= \sum_{n=1}^\infty n^{-n}\end{align}$$ esitligi dogru mu? Dogru ise ispatlayiniz.

Comments

Bu esitligin ozel bir ismi de var.

---

bilmem gerekiyorsa bileyim hocam :D yapmam gerekiyorsa yapayım,yönlendirme var mıdır?

---

yok, kendin calisarak bul :)

---

Bu soruyu &quot;65&quot; puan olarak ödüllü ilan ediyorum. <br><br>İstek: Mantık ve açıklamalarıyla lütfen.

---

Çözümü yazdım ama konunun ismini "ra" verdiği için puanı ona veriyorum.

---

Puan cevap sahibini verilmeli degil mi, sn. admin bey?

---

Anıl burada bir emek söz konusu çözüm sizin puan sizin olmalı . Sercanın söylediği gibi . 

Answer 1

$e^x=\displaystyle\sum_{n=0}^\infty \dfrac{x^n}{n!}$ olduğundan

$x^{-x}=e^{-xlnx}=\displaystyle\sum_{n=0}^\infty \dfrac{(-1)^n(x)^n(lnx)^n}{n!}$  olur ve dolayısıyla;

$\displaystyle\int_0^1 x^{-x} dx=\displaystyle\int_0^1 \left(\displaystyle\sum_{n=0}^\infty \dfrac{(-1)^n(x)^n(lnx)^n}{n!}\right)dx$

uygun yakınsaklık teoreminden dolayı (uniformly convergence)  integrali içeri atabilirim. $^{^{soru\;1}}$

$\displaystyle\int_0^1 x^{-x}dx= \displaystyle\sum_{n=0}^\infty \left(\displaystyle\int_0^1 \dfrac{(-1)^n(x)^n(lnx)^n}{n!}dx\right)$

$e^{^{\frac{-u}{n+1}}}=x$ dönüşümü yaparsak;

$= \displaystyle\sum_{n=0}^\infty \dfrac{(-1)^{2n+1}(n+1)^{-n-1}}{n!} \left(\displaystyle\int_\infty^0 u^n e^{-u}du\right)= \displaystyle\sum_{n=0}^\infty \dfrac{(n+1)^{-n-1}}{n!} \left(\displaystyle\int_0^\infty u^n e^{-u}du\right)$

$\Gamma(n)=\displaystyle\int_0^\infty u^{n-1} e^{-u} du$    ve    $\Gamma(n+1)=\displaystyle\int_0^\infty u^{n} e^{-u} du=n\Gamma(n)=n!$ olduğundan;

$\boxed{\boxed{\displaystyle\int_0^1 x^{-x}dx=\displaystyle\sum_{n=0}^\infty \dfrac{(n+1)^{-n-1}}{n!} \underbrace{\left(\displaystyle\int_0^\infty u^n e^{-u}du\right)}_{n!}=\displaystyle\sum_{n=0}^\infty (n+1)^{-n-1}=\displaystyle\sum_{n=1}^\infty n^{-n}}}$

Ve aynı sonuçlar için;

$\boxed{\boxed{\displaystyle\int_0^1 x^xdx=\displaystyle\sum_{n=1}^\infty (-1)^{n+1}n^{-n}=-\displaystyle\sum_{n=1}^\infty (-n)^{-n}}}$

Sonucu da çıkar.

Comments

Soru 1: Uniformly convergence diye içeri dağıtabilmemin asıl nedeni nedir?

---

Cevabi en iyi secme sebebinizi anlamadim?

---

ödüllü kategorısınde, dogru cevaba ek bır de puanı odullu ılan etme cevabı oldugundan, sorunun cozuldugunu, soru lıstesınde gostermek ıcın en ıyı secmıstım .