$\displaystyle\int_0^\infty e^{-x^2}dx$ için çözüm metodlarını ekleyiniz.

Question

Metod 1:

$$e^{-x^2}$$ çift fonksiyon olduğundan, 

$$2\displaystyle\int_0^\infty e^{-x^2}dx=\int_{-\infty}^\infty e^{-x^2} dx$$

$$I=\int_{-\infty}^\infty e^{-x^2} dx$$ diye tanımlayalım

$$I^2=\left(\int_{-\infty}^\infty e^{-x^2} dx\right)\left(\int_{-\infty}^\infty e^{-y^2} dy\right)$$

Polar koordinatlara çevirirsek;

$$I^2=\displaystyle\int_0^{+2\pi}\int_0^\infty e^{-r^2}r\;\;dr\;d\theta=2\pi\int_0^\infty e^{-r^2}r\;dr$$ olur.

$u=r^2$ dönüşümü yaparsak;

$$I^2=\pi\int_0^\infty e^{-u}du=\pi$$

$$I=\sqrt \pi$$

Dolayısıyla integral;

$$2\displaystyle\int_0^\infty e^{-x^2}dx=\int_{-\infty}^\infty e^{-x^2} dx=\pi$$ $$\to$$ $$\displaystyle\int_0^\infty e^{-x^2}dx=\sqrt\pi/2$$

Comments

Soru ile icerik farkli gibi.

---

taylor serileri ile her alt ve üst sınır için yaklaşık değerler bulunabilir fakat belirsiz integral haliyle genel çözüm yapılamaz.Tek söyleyebileceğimiz eğer çözülebilseydi sonucun tek fonksiyon olduğu ve integral sabitinin olmadığıdır.

---

aynen belırlı ıntegral zaten, düzeltildi.