En temiz kanıt alionur'un verdiği kanıttır. Fakat çoğu kez K üzerinde cebirsel α ve β gibi iki eleman, sırasıyla p,q∈K[x] gibi iki polinomun kökleri ise α+β nın sağladığı bir g∈K[x] polinomu bulmak önemli olabilir.
pq polinomunun K üzerinde parçanış cismi L olsun. α=α1,...,αn∈L, p polinomunun L içindeki tüm kökleri ve β=β1,...,βm∈L , q polinomunun L içindeki tüm kökleri olsun.
g(x)=n∏i=1m∏j=1(x−αi−βj)∈K[x]
istenen koşulları sağlar. Neden?
h(x)=n∏i=1m∏j=1(x−αiβj)∈K[x]
koyacak olursak αβ elemanı h∈K[x] polinomunu sağlar.
Örnek : Q üzeride cebirsel olan √3 ve 3√2 gerçel sayıları, sırasıyla p=x2−3,q=x3−2∈Q[x] polinomlarını sağlıyorlar. √3+3√2
sayısının sağladığı bir polinom bulmak için ω=12(−1+i√3) olmak üzere
g(x)=(x−3√2−√3)(x−ω3√2−√3)(x−ω23√2−√3)(x−3√2+√3)(x−ω3√2+√3)(x−ω23√2+√3)
koyalım.
g(x)=((x−√3)3−2)((x+√3)3−2)=x6−9x4−4x3+27x2−36x−23
olur.
Örnek : Q üzeride cebirsel olan α=√3 ve β=√2 gerçel sayıları, sırasıyla αβ=√6 dır.
h(x)=(x−√3√2)(x+√3√2)(x+√3√2)(x−√3√2)
koyalım. h(x)=x4−12x2+36=(x2−6)2 dir. Bu duruma h nin αβ=√6 nın Q üzeride sağladığı minimal x2−6 polinomu olmadığına dikkat etmek gerekir.