Tanım 1: X≠∅ herhangi bir küme ve d:X2→R≥0 fonksiyon olmak üzere
d,X'de metrik:⇔{M1)d(x,y)=0⇔x=yM2)d(x,y)=d(y,x)M3)d(x,y)≤d(x,z)+d(z,y)
Tanım 2: X≠∅ herhangi bir küme ve d:X2→R≥0 fonksiyon olmak üzere
d,X'de ultrametrik:⇔{M1)d(x,y)=0⇔x=yM2)d(x,y)=d(y,x)M3)d(x,y)≤max
Tanım 3: X\neq \emptyset herhangi bir küme ve d:X^2\to\mathbb{R}^{\geq 0} fonksiyon olmak üzere
d, X\text{'de aritmetik metrik}:\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{lll} M_1) & d(x,y)=0\Leftrightarrow x=y \\ M_2) & d(x,y)=d(y,x) \\M_3) & d(x,y)\leq \frac{d(x,z)+d(z,y)}{2} \end{array}\right.
Tanım 4: X\neq \emptyset herhangi bir küme ve d:X^2\to\mathbb{R}^{\geq 0} fonksiyon olmak üzere
d, X\text{'de geometrik metrik}:\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{lll} M_1) & d(x,y)=0\Leftrightarrow x=y \\ M_2) & d(x,y)=d(y,x) \\ M_3) & d(x,y)\leq \sqrt{d(x,z)\cdot d(z,y)} \end{array}\right.
Son iki tanımı ben uydurdum.
Sonuç: X\neq \emptyset herhangi bir küme ve d:X^2\to \mathbb{R}^{\geq 0} fonksiyon olmak üzere
d, X\text{'de geometrik metrik}
\Rightarrow
d, X\text{'de aritmetik metrik}
\Rightarrow
d, X\text{'de ultrametrik}
\Rightarrow
d, X\text{'de metrik}
Sorum şu:
1) Ultrametrik olup aritmetik metrik olmayan bir fonksiyon var mıdır? Varsa bir örnek veriniz.
2) Aritmetik metrik olup geometrik metrik olmayan bir fonksiyon var mıdır? Varsa bir örnek veriniz.
Son iki tanımda verilen aritmetik metrik uzaylarda ve geometrik metrik uzaylarda ekstra ne gibi özellikler elde edebiliriz?