$[SL_2(\mathbb Z): \Gamma(N)]=N^3\prod_{p\mid N}(1-\frac1{p^2})$ oldugu

Question

Direkt soruyu okumak isterseniz kirmizi renkli soru yazisina kadar ininiz...

Ilk olarak $\Gamma(N)$, $\Gamma_1(N)$ ve $\Gamma_0(N)$ tanimlarini vereyim:  $$\Gamma(N) : = \left \{\left[ \begin{array}{cc}a & b \\c & d \end{array} \right] \in SL_2(\mathbb Z) \; : \;\left[ \begin{array}{cc}a & b \\c & d \end{array} \right]\equiv \left[ \begin{array}{cc}1 & 0 \\0 & 1 \end{array} \right] \mod N \right \},$$ $$\Gamma_1(N) : = \left \{ \left[ \begin{array}{cc}a & b \\c & d \end{array} \right] \in SL_2(\mathbb Z) \; : \;\left[ \begin{array}{cc}a& b \\c & d \end{array} \right] \equiv\left[ \begin{array}{cc}1 & * \\0 & 1 \end{array} \right] \mod N \right \},$$ $$\Gamma_0(N) : = \left \{\left[ \begin{array}{cc}a & b \\c & d \end{array} \right] \in SL_2(\mathbb Z) \; : \;\left[ \begin{array}{cc}a & b \\c & d \end{array} \right]\equiv\left[ \begin{array}{cc}* & * \\0 & * \end{array} \right]\mod N \right \}.$$ 1) Acik bir sekilde $$\Gamma(n) \subset \Gamma_1(N)\subset \Gamma_0(N) \subset SL_2(\mathbb Z)$$ olur. 

2) $$\Gamma_1(N) \to \mathbb Z/N\mathbb Z$$ fonksiyonunu $$\left[ \begin{array}{cc}a & b \\c & d \end{array} \right]  \to b \mod N$$ olsun. Bu durumda bu fonksiyon orten bir homomorfizma ve cekirdegi de $\Gamma(N)$ olur. Hatta bu durumdan dolayi $\Gamma(N) \lhd \Gamma_1(N)$ olur ve $$\Gamma_1(N)/\Gamma(N)\stackrel{\sim}{\to}\mathbb Z/N\mathbb Z$$ ve de $$[\Gamma_1(N): \Gamma(N)]=N$$ olur.

3) Ayni sekilde  $$\Gamma_0(N) \to \big(\mathbb Z/N\mathbb Z\big)^*$$ fonksiyonunu $$\left[ \begin{array}{cc}a & b \\c & d \end{array} \right]  \to d \mod N$$ olsun. Bu durumda bu fonksiyon orten bir homomorfizma ve cekirdegi de $\Gamma_1(N)$ olur. Hatta bu durumdan dolayi $\Gamma_1(N) \lhd \Gamma_0(N)$ olur ve $$\Gamma_0(N)/\Gamma_1(N)\stackrel{\sim}{\to}\big(\mathbb Z/N\mathbb Z\big)^*$$ ve de $$[\Gamma_0(N): \Gamma_1(N)]=\phi(N)$$ olur.

Soru yazisi: 
Geriye kalan $[SL_2(\mathbb Z): \Gamma_0(N)]=N\prod_{p\mid N}(1+\frac1p)$ kismini gosteriniz. 

Bu da bize $[SL_2(\mathbb Z): \Gamma(N)]=N^3\prod_{p\mid N}(1-\frac1{p^2})$ oldugunu verir. Bu sayiya neden ulasmak istedik?

Answer 1

Bu soruyu "25" puan karşılığında ödüllü soru ilan ediyorum.

Istek: Cevabin acik ve detayli bir sekilde yazilmasi.

Comments

$25$ puan düşüldü.Teşekkürler.