$SL_2(\mathbb Z)$ grubunun $\bigg[\begin{matrix}1 & 1 \\ 0 &1\end{matrix}\bigg]$ ve $\bigg[\begin{matrix}0 & -1 \\ 1 &0\end{matrix}\bigg]$ tarafindan uretildigi

Question

$SL_2(\mathbb Z)$ grubunun $\bigg[\begin{matrix}1 & 1 \\ 0 &1\end{matrix}\bigg]$ ve $\bigg[\begin{matrix}0 & -1 \\ 1 &0\end{matrix}\bigg]$ tarafindan uretilen altgrubuna $\Gamma$ diyelim. Gosteriniz ki $\Gamma$ aslinda $SL_2(\mathbb Z)$ grubunun kendisi.

Answer 1

"A First Course in Modular Forms- Diamond&Shurman"  kitabinin basinda bunun boyle oldugunu ve "Exersice 1.1.1" olarak cozdurecegini soyluyor. Ben cozumu asagidaki gibi yaptim. 

Ilk olarak sunu not edin diyor: Her $n \in \mathbb Z$ icin $\bigg[\begin{matrix}1 & 1 \\ 0 &1\end{matrix}\bigg]^n=\bigg[\begin{matrix}1 & n \\ 0 &1\end{matrix}\bigg]$. 

Bunu gostermek icin tumevarim kullanabiliriz ve negatif kisim icin de tersini gosterebiliriz: $$\bigg[\begin{matrix}1 & n \\ 0 &1\end{matrix}\bigg]\bigg[\begin{matrix}1 & 1 \\ 0 &1\end{matrix}\bigg]=\bigg[\begin{matrix}1 & n+1 \\ 0 &1\end{matrix}\bigg]$$ ve $$\bigg[\begin{matrix}1 & n \\ 0 &1\end{matrix}\bigg]\bigg[\begin{matrix}1 & -n \\ 0 &1\end{matrix}\bigg]=\bigg[\begin{matrix}1 & 0 \\ 0 &1\end{matrix}\bigg].$$

(Ayrica ne kadar uygun kullanmasi bilmiyorum ama ilgili matris oteleme oldugundan uzeri $n$ de $n$ oteleme olur. Dolayisiyla esitlik dogru.)

Sonra diyor ki $SL_2 (\mathbb Z)$ icinden $\alpha=\bigg[\begin{matrix}a & b \\ c &d\end{matrix}\bigg]$ matrisini alalim. 

Soyle bir esitlik var diyor: $\bigg[\begin{matrix}a & b \\ c &d\end{matrix}\bigg]\bigg[\begin{matrix}1 & n \\ 0 &1\end{matrix}\bigg]=\bigg[\begin{matrix}a & b' \\ c &nc+d\end{matrix}\bigg]$. Dogru evet, $b'$ da $an+d$ olmali hatta. Fakat anladigim bu girdinin pek onemi yok.

Neyse bunu kullanarak $c=0$ olmadiginda bir adet $\gamma \in \Gamma$ icin $\alpha\gamma$ matrisinin alt satiri $(c,d')$ olur, oyle ki $|d'| \leq |c|/2$ olur.

Burda $d$ elemaninin $c$ elemanina gore $\mod c$ islemi aldigimizda kalan $0 \leq k<c$ olsun. Bu durumda eger $k \leq c/2$ ise tamamiz, eger $k>c/2$ ise $c-k$ olacak sekilde seceriz kalani. Buna uygun $n$ sayisi isimizi gorur.

Simdi bir esitlik daha vermis: $\bigg[\begin{matrix}a & b \\ c &d\end{matrix}\bigg]\bigg[\begin{matrix}0 & -1 \\ 1&0\end{matrix}\bigg]=\bigg[\begin{matrix}b & -a \\ d &-c\end{matrix}\bigg]$. Bu zaten kolay bir matris carpmasi.

Burda da dedigi eger bu islemleri biraz daha tekrarlarsak alt satir $(0,*)$ seklinde bir matris elde ederiz.

Evet ederiz cunku. $|d'|\leq |c|/2$ yapip yerini degistirdigimizde, yani $(d',-c)$ yaptigimizda yine ayni ($|d'|\leq |c|/2$) islemini uygulayarak en sonunda ilgili $|c|$ sifira dogru yaklasi ve $2$'den kucuk oldugunda, yani $1$ oldugunda  ilgili $d'$ da $0$ olur.

Cumlesine devam ediyor. Hatta bu satir $(0,\pm1)$ olmali. Artik bu kisim kolay bir cikarim cunku $\bigg[\begin{matrix}a & b \\ 0 &d\end{matrix}\bigg]$ matrisin determinanti $ad=1$ olmasi gerektiginden $d=\pm1$ olabilir.

Ayrica diyor, $\bigg[\begin{matrix}0 & -1 \\ 1 &0\end{matrix}\bigg]^2=-I \in \Gamma$ oldugundan bunu $(0,1)$ yapabiliriz.

Evet cunku alt satir eger $(0,-1)$ ise $\bigg[\begin{matrix}a & b \\ 0 &-1\end{matrix}\bigg]\bigg[\begin{matrix}-1 & 0 \\ 0 &-1\end{matrix}\bigg]=\bigg[\begin{matrix}-a & -b \\ 0 &1\end{matrix}\bigg]$ olur.

O zaman en son bu $\bigg[\begin{matrix}a & b \\ 0 &1\end{matrix}\bigg]$ matrisinin deternminanti $1$ olacagindan $a$ da $1$ olmali. Demek ki oyle bir $\gamma \in \Gamma$  var ki $\alpha\gamma=\bigg[\begin{matrix}1 & b' \\ 0&1\end{matrix}\bigg]$ olur, ki bu tarz matrisin $\Gamma$ altgrubunun elemani oldugunu yukarida  gorduk. Demek ki $\alpha\gamma\in\Gamma$ ve dolayisiyla $\alpha\in\Gamma$.

Not: $a,b,c,d$ her yerde ayni degil, fakat anlasiliyor. O biraz kotu oldu ama en sonunda fark ettim, kitabin adimlarina baka baka yazdigimdan.