$a!=b!+c!$ esitligini saglayan $(a,b,c)$ ucluleri

Question

$a,b,c$ pozitif tam sayilar olmak uzere $a!=b!+c!$ esitligini saglayan $(a,b,c)$ uclulerini bulunuz.

Ornek: $2!=1!+1!$.

Comments

Hocam $2!$ den baska saglayan bir sey bulamadim ben.

---

Evet, tek örnek yukarıdaki gibi. Geriye kaldı ispatlamak.

Answer 1

Ilk olarak $a! >b!,c!$ olmali. Diger turlu sag taraf daha buyuk olur. Eger $a \geq 3$ ise $$b! \leq \frac{a!}a \leq \frac{a!}3 \text{ ve } c! \leq \frac{a!}a \leq \frac{a!}3$$  olmali. Bu durumda $$a!=b!+c! \leq \frac{a!}{3}+\frac{a!}{3}=\frac23a!$$ olur, ki bu da $a!>0$ oldugundan imkansizdir. Demek ki $a \leq 2$ olmali. Bu durum icin de tek cozum $$2!=1!+1!$$ esitliginden gelir.

Comments

Hocam bir de şu yoldan ispatlanabilir mi? Mesela a>b olsun a!+b!'i b! parantezine alıp oradan işlem yapılarak ispatlayabilir miyiz?

---

Emin degilim ama denemekten zarar gelmez. Sen de o yontemi bir dene bakalim, tikandigin yerlerde bakalim.

---

Tamam hocam.

Answer 2

$a!=b!+c!$ miş. $b\geq c$ kabul edelim. $\dfrac {a!} {c!}=x$ ve $\dfrac {b!} {c!}=y$ olsun. Sağ tarafı c! parantezine alırsak $c! .\left( \dfrac {b!} {c!}+1\right) =a!$ olur. c! i karşıya atarsak sonuç $\dfrac {b!} {c!}+1=\dfrac {a!} {c!}$ olur. Ilk cümlemizden yola çıkarak $y = x-1$ olur. $\dfrac {a!} {c!}=x$ ve $\dfrac {b!} {c!}=y$ den yola çıkarsak t! kendisine eşit veya büyük olmayan bir n! in minimum t katı olacağından bu kabulümüzden yola çıkarsak arasındaki farkın 1 olmasını sağlayacak x ve y için x = 2 ve y = 1 olmalı. O halde sağlayan tek sonuç 2! . 1! = 1! . 1! + 1! olacaktır.