$f(x,y)=\left\{\begin{matrix} 0 & xy\neq 0\\ 1 & xy=0 \end{matrix}\right.$ fonksiyonu hakkında

Question

$f(x,y)=\left\{\begin{matrix} 0 & xy\neq 0\\ 1 & xy=0 \end{matrix}\right.$

İki değişkenli fonksiyonlar üzerinde çalışıyorum. Bu fonksiyonun $(0,0)$ noktasında sürekli olup olmadığını incelemek istiyorum.

Comments

Normalde bu tip parçalı fonksiyonlar üzerinde çalışırken izlediğim standart prosedür var ama bu soru ona uymuyor

---

Standart prosedür ne? Belki onu yazarsan, oradan devam etmene yardımcı olabiliriz. (Belki).

---

Yanda şöyle bir soru gözülüyor. $f(x,y):=\left\{\begin{array}{ccc} \frac{x^3-y^3}{x^2+y^2} & , & (x,y)\neq (0,0) \\ \\ 0 & , & (x,y)=(0,0) \end{array}\right.$

Bu $(0,0)$'da sürekli. Çünkü, $f(0,0)= lim_{(x,y)\to (0,0)} f(x,y)=0$

Hatta bu limiti kutupsal dönüşümle hesapladım ($x=rcost,y=rsint$)

---

Çok değişkenli fonksiyonların limitleri incelenirken çok kullanılan bir yöntem var, onu düşündünüz mü?

---

Çok değişkenli fonksiyonları hesaplarken bilhassa limitin olmadığını gösterirken $x=0$ boyunca daha sonra $y=0$ boyunca bakıyorum. Sonrasında bir şey elde edemezsem, $y=x$ boyunca yaklaşıyorum ve böyle devam ediyorum

Yukarıdan sonuç alamazsam kutupsal dönüşüm kullanıyorum.

Doğan hocam bahsettiğiniz yöntemi biraz daha detaylandnırabilir misiniz?

---

Son yorumda yazdıklarını bu fonksiyon için yaptın mı?

---

$x=0$ boyunca $lim f(x)=1$, aynı durum $y=0$ için de geçerli:

$x=y$ boyunca $lim f(x)=0$ oluyor eğer $x\neq 0$ ama ya $x=0$ olursa? O durum kafamı karıştırdı.

---

1. Buradaki $\lim$ simgesinin altında (ya da sağ altında) bir şeyler daha olması gerekmiyor mu?
2. (bir değişkenli fonksiyonlarda) limit tanımını yazabilir misin?

(iki soru arasında bir ilişki var)

---

$x=0$ boyunca $lim_{y\to 0}f(x)=1$ demek istemiştim. Aynı durum $y=0$ içinde geçerli, limitin altında $x\to0$ olacak

---

2. sorunun cevabı, senin (daha önceki yorumundaki)  soruna cevabı içeriyor.

---

Pardon, limitin tanımını eklemeyi unutmuşum.

$f(x)$ fonksiyonunun $x_0$ noktasındaki limiti $L$ olsun.     

$\lim_{x\to x_0} f(x)=L \iff$ $\forall \epsilon >0 \exists \delta>0$ st $|x-x_0| < \delta \to |f(x)-L|<\epsilon$

---

Bu tanımda, önemli bir eksik var.

---

Tek boyuttaki limitin tanımını yazmaya çalıştım

---

$\forall x\in \mathbb{R}, |x-x_0| < \delta \to |f(x)-L|<\epsilon$

---

Ben de onu istemiştim.

Bu tanımda, çok önemli bir eksik var.

---

Yukarıya yazdığıma göre $0< |x-x_0| < \delta$ ifadesi yok. Benim düşüncem şu şekildeydi, mutlak değerin sonucu sıfırdan büyük olacağından(tabi belki eşitte olabilir) yazmamıştım. Dediğiniz eksik bu muydu?

---

Evet. Bu da senin

"$x=y$ boyunca $\lim f(x)=0$ oluyor eğer $x\neq0$ ama ya $x=0$ olursa? "

sorunua cevap olmuyor mu?

EK: Orada, mutlak eğerin 0  olması durumu çok önemli.

---

$(0,0)$ noktası hariç $y=x$ boyunca limit $0$. (Burası ekstra: $f(0,0)=1$ olduğundan $(0,0)$ noktasında süreksiz.)

Son kısmı anlamayamadım, nasıl soruma cevap verdiği kısmı. Yukarıya göre, $x=0$ yazdığımda elimde bu oluyor $\to 0<|0-x_0|<\delta$

---

$0<|x-x_0|$ eşitsizliğinin varlığı şu anlama geliyor:

$x=x_0$ iken $f$ nin değeri (olmayabilir, varsa bile) ile ilgilenmeyeceğiz.

---

Tamamdır. Bundan dolayı, o zaman $x=y$ boyuncadaki limite gönül rahatlığıyla $0$ diyebilirim