Question

$\mathbb{Z}[x]$ halkasının maksimal idealleri nelerdir?

Answer 1

$M$, $\mathbb{Z}[x]$'in bir maksimal ideali, ve $a,b \in M \cap \mathbb{Z}$ olsun. O halde, $\mathbb{Z}$ Öklid halkası olduğundan, $\gcd(a,b) \in M$. Dolayisiyla, $M$'deki tum tamsayilar ayni asalin kati olmasi gerekmektedir (bunu daha da acarsak, eger iki farkli asalin kati $M$'deyse o zaman 1 de $M$de olur ve $M$'nin oz-ideal olma kosuluyla bir celiski elde ederiz), ve $p\mathbb{Z} \subset M$.

Dolayisiyla her maksimal ideale karsilik gelen yegane bir asal elde etmis bulunuyoruz. Bu asali kullanarak $\mathbb{Z}[x]$'deki polinomlari $\mathbb{F}_p[x]$'de gorebiliriz: $\Phi_p\colon \mathbb{Z}[x] \rightarrow \mathbb{F}_p$ katsayilari modulo p indirgeyen halka homomorfizmasi olsun. Ayrica $m=\Phi_p(M)$ olsun. Dolayisiyla, halka isomorzifma teoremlerinden

$$f = \mathbb{Z}[x] {\Big /} M \cong \mathbb{F}_p  {\Big /} m$$

esitligini elde ediyoruz. Son olarak maksimal ideallerin bolum halkalarinin (ing. `quotient ring') cisim olmasi gerektigini kullanmamiz gerekiyor. Varsayalim ki $q(x) \in m$ olsun. Eger $q(x)$ indirgenebilir ise, bolumde $q(x)$'in carpanlarinin tersleri yoktur (cunku eger $q(x) = p_1(x)p_2(x)$  ise $[p_1(x)][p_2(x)] = [q(x)] = [0]$). Dolayisiyla, $q(x)$ indirgenebilir olmak zorundadir. Eger $m$ iki farkli indirgenebilir polinom iceriyorsa, o zaman da bolum halkasi $\{1\}$ olacaktir cunku bir indirgenebilir polinomun urettigi ideale bolumden kalan bir cisim oldugundan bir diger indirgenemez polinomun urettigi ideal tum cisim olacaktir. O yuzden $m$'yi ureten $\mathbb{F}_p$ katsayili yegane bir indirgenemez $q(x)$ polinomu olmalidir ($m = <q(x)>$). Dolayisiyla, $\mathbb{Z}[x]$'in maksimal idealleri $p$ bir asal ve $\Phi_p(Q(x))$ indirgenemez bir polinom olmak uzere $M = <p,Q(x)>$ seklinde yazilabilir.

Answer 2

$\mathbb{Z}[X]/I$ bir cisim olmali. Bu cisimlerde sadece $\mathbb{F}_p$ uzerinde bir cisim olabilir, $p$ asal bir sayi. Yani $<p,f(X)>$ de bunlara karsilik gelen ideal olur, $f(X)$ indirgenemez bir polinom, $\mathbb{F}_p$ uzerinde.