$\beta$ , $A$ kümesi üzerinde bir denklik bağıntısı olsun. $A/ \beta$ bölüm kümesinin $A$ 'nın bir parçalanışı olduğunu ispatlayınız.

Question

1 cevap

Handan · Answer 1 · 2016-01-07T14:04:29+0000

Önce iki denklik sınıfının ayrık yada çakışık olduğunu göstereceğiz. Sonra da denklik sınıflarının birleşiminin

$A$ 'yı verdiğini.

1-

$a,b\in A$ olmak üzere

$[a]\cap [b]=\emptyset$ yada

$[a]=[b]$ .
Kabul edelim ki;

$[a]\cap [b]\neq \emptyset$ olsun. Bu durumda

$c\in [a]$ ve

$c\in [b]$ olacak şekilde bir

$c\in A$ vardır.

$c\in [a]$ ise

$c\beta a$ ve

$c\beta b$ simetri özelliğinden

$b\beta c$ ve geçişme özelliğinden

$b\beta a$ ve

$a\beta b$ .

$x\in [a]$ olsun. Bu durumda

$x\beta a$ ve

$a\beta b$ olduğundan

$x\beta b$ olur ki; bu ise

$[a]\subseteq [b]$ demektir. Benzer şekilde

$[b]\subseteq [a]$ olduğunu görebiliriz.

2-

$A=\displaystyle\cup_{a\in A}[a]$ olduğunu görelim.

$x\in A$ olsun. Yansıma özelliğinden

$x\beta x$ olup

$x\in [x]$ yani;

$x\in \displaystyle\cup_{a\in A}[a]$ bulunur. Diğer kapsama her zaman sağlanır.