Washnitzer Cebiri'nde türev fonksiyonunun örten olması

Question

$K$ archimedean olmayan, karakteristiği 0 olan bir cisim ve $||.||:K\to \mathbb{R}_{\geq 0}$ fonksiyonu da $K$ üzerindeki mutlak değer olsun.

Washnitzer Cebiri'ni şu şekilde tanımlayalım:  $$W_n=\{\sum_{u\in \mathbb{Z}_{\geq 0}^n} a_u X^u \in K[[X]]: \text{ öyle bir } \rho>1 \text{ vardır ki } ||a_u||\rho^{|u|}\to 0 \text{ as } |u|\to \infty\}$$ öyle ki $|u|=u_1+u_2+\ldots+u_n$ her $u=(u_1,\ldots,u_n)$ ve $\rho\in\mathbb{R}$ için. (her $u$ için $a_u\in K$)

Şimdi $n=1$ olsun, yani  $$W_1=\{\sum_{n\in\mathbb{Z_{\geq 0}}} a_n X^n \in K[[X]]: \text{ öyle bir } \rho>1 \text{ vardır ki } ||a_n||\rho^{n}\to 0 \text{ as } n\to \infty\}$$

Soru şu; $W_1$ üzerinde tanımlanan $$\partial: W_1\to W_1, \qquad \sum_{n\in\mathbb{Z_{\geq 0}}} a_n X^n \to \sum_{n\in\mathbb{Z_{> 0}}} na_nX^{n-1}$$ türev fonksiyonu örten mi değil mi? Cevabı da, evet örten (olması lazım).

Temel olarak gösterilmesi gereken şey, eğer $\sum_{n\in\mathbb{Z_{\geq 0}}}a_nX^n$ elemanı $W_1$ içindeyse o zaman $\sum_{n\in\mathbb{Z_{> 0}}} \frac{a_{n-1}}{n}X^n$ (bu da serinin formel integrali oluyor) elemanı da $W_1$'in içindedir.

Daha açık olarak, eğer öyle bir  $\rho>1$ varsa ki  $$\lim_{n\to\infty} ||a_n|| \rho^n=0$$ o zaman öyle bir $\rho_1$ var mıdır ki $$\lim_{n\to\infty} ||{\frac{a_{n-1}}{n}}||{\rho_1}^n=0$$ ??

Bu soru çeşitli kaynaklarda "evet" olarak yanıtlanıyor, ancak kanıtını veren bir kaynak bulamadım.

Comments

Sorudaki toplamın içi boş. Toplam işaret var, indeks var ama nelerin toplandığı yok

---

gözden kaçırmışım, ekledim.

Answer 1

Istediginiz cevap bu mu bilmiyorum ama:

$||a_{n-1}|| \rho^{n-1} \rightarrow 0$ ise $\frac{1}{n-1}||a_{n-1}|| \rho^{n-1} \rightarrow 0$.

Yani $\frac{1}{n-1}$ ile carpiyoruz. Bunun da limiti sifira gidiyor, digerinin de.

ya da yukaradi formdaki gibi: $||a_{n-1}|| \rho^{n-1} \rightarrow 0$ ise $\frac{1}{n}||a_{n-1}|| \rho^{n-1} \rightarrow 0$ ise $\rho \frac{1}{n}||a_{n-1}|| \rho^{n-1} \rightarrow 0$.

Comments

$\frac{1}{n}$'i direkt dışarı çıkartamıyoruz galiba, hatta $||\frac{1}{n}||$ dizisi sınırsız olması lazım. 

---

$||av||=a||v||$ degil mi? Yani her $n$ icin bunu ayri bir sekilde yapamaz miyim?

zaten $\sum \frac{1}{n}$ de sinirsiz. ama seri olarak disariya atma degil..

---

Cismin karakteristiği sıfır, bu demek oluyor ki rasyonel sayıları içeriyor. Ostrowski teoremi gereği rasyonel sayılar üzerinde norm, $p$-sel normlardan birisi olmalı. Yani $1/n$ dizisinin sonsuza giden bir altdizisi vardır.

Bir de, norm çarpımsal, yani dışarı çıkmaz, çarpımın normu çarpanların normlarının çarpımına eşit olacak.