Processing math: 100%
Akademisyenler öncülüğünde matematik/fizik/bilgisayar bilimleri soru cevap platformu
1 beğenilme 0 beğenilmeme
1.3k kez görüntülendi
Sayılar teorisi kitabındaki uygulamalar kısmında olan bir ispat elementer dersi alan öğrencilerimiz için faydalı olabilecek çözümlerini gösterelim
Lisans Matematik kategorisinde (14 puan) tarafından 
tarafından yeniden gösterildi | 1.3k kez görüntülendi

(a,b)  derken sanırım bu sayıların ebobunu kastediyorsunuz. Kategoriyi "lisans" olarak düzelttik.

Ebobunu kastediyorum

1 cevap

1 beğenilme 0 beğenilmeme

(a,b)=d olsun. a=dx, b=dy ve (x,y)=1 olacak şekilde x,yZ vardır.

Biz (a+b,ab)=d olmasını istiyoruz. (a+b,ab)=(d(x+y),d(xy))=d(x+y,xy) olduğundan (x+y,xy)=1 olmasını istiyoruz. Tabii ki böyle bir şey her zaman olmayacaktır. Örneğin x=3,y=1 iken (x+y,xy)=(4,2)=2 olmaktadır. Sadece (x,y)=1 olduğunu biliyoruz ve x,y tam sayılarını (x+y,xy)=1 olacak biçimde dikkatlice seçmeliyiz.

Şu durumları inceleyelim:

x ve y her ikisi de tek sayılar ise x+y, xy çift sayılar olup (x+y,xy)1 dir.

 x ve y her ikisi de çift sayılar olamazlar, çünkü (x,y)=1 demiştik.

 Geriye kalan son durum x ile y den biri çift diğeri tek sayı olmalıdır. http://matkafasi.com/123614/obeb-kavrami-%24-a-b-a-b-b-%24-esitligi bağlantısındaki eşitlikleri de kullanarak 

(x+y,xy)=(x+y+(xy),xy)=(2x,xy)=(x,xy) yazabiliriz. (2x deki 2 çarpanını bir sonraki eşitlikte silebiliyoruz, çünkü xy tek sayıdır ve 2 çarpanı içermez.) Ayrıca aynı bağlantıdaki eşitliklere göre (x,xy)=(x,y)=1 dir. Böylece (x+y,xy)=1 elde etmiş durumdayız.


Sonuç olarak (a,b)=(a+b,ab) olması için gerek ve yeter şart x=a(a,b) ve y=b(a,b) sayılarından birinin tek sayı, diğerinin çift sayı olmasıdır.




(2.6k puan) tarafından 
20,328 soru
21,886 cevap
73,617 yorum
2,984,071 kullanıcı