(a,b)=d olsun. a=dx, b=dy ve (x,y)=1 olacak şekilde x,y∈Z vardır.
Biz (a+b,a−b)=d olmasını istiyoruz. (a+b,a−b)=(d(x+y),d(x−y))=d(x+y,x−y) olduğundan (x+y,x−y)=1 olmasını istiyoruz. Tabii ki böyle bir şey her zaman olmayacaktır. Örneğin x=3,y=1 iken (x+y,x−y)=(4,2)=2 olmaktadır. Sadece (x,y)=1 olduğunu biliyoruz ve x,y tam sayılarını (x+y,x−y)=1 olacak biçimde dikkatlice seçmeliyiz.
Şu durumları inceleyelim:
∙ x ve y her ikisi de tek sayılar ise x+y, x−y çift sayılar olup (x+y,x−y)≠1 dir.
∙ x ve y her ikisi de çift sayılar olamazlar, çünkü (x,y)=1 demiştik.
∙ Geriye kalan son durum x ile y den biri çift diğeri tek sayı olmalıdır. http://matkafasi.com/123614/obeb-kavrami-%24-a-b-a-b-b-%24-esitligi bağlantısındaki eşitlikleri de kullanarak
(x+y,x−y)=(x+y+(x−y),x−y)=(2x,x−y)=(x,x−y) yazabiliriz. (2x deki 2 çarpanını bir sonraki eşitlikte silebiliyoruz, çünkü x−y tek sayıdır ve 2 çarpanı içermez.) Ayrıca aynı bağlantıdaki eşitliklere göre (x,x−y)=(x,y)=1 dir. Böylece (x+y,x−y)=1 elde etmiş durumdayız.
Sonuç olarak (a,b)=(a+b,a−b) olması için gerek ve yeter şart x=a(a,b) ve y=b(a,b) sayılarından birinin tek sayı, diğerinin çift sayı olmasıdır.