Eğer $r<p<s$ ise o zaman $||f||_p\leq \text{max}(||f||_r,||f||_s)$ olur.

Question

$f$, $X$ üzerinde karmaşık (complex) ölçülebilir (measurable) bir fonksiyon.

Üzerinde integral aldığımız ölçü (measure) pozitif.

---

Real and Complex Analysis, Walter Rudin, 3. Bölüm, 4. Soru, (d) şıkkı

Answer 1

$\left\Vert f\right\Vert _{r}=\infty$ veya $\left\Vert f\right\Vert_{s}=\infty$ ise kanıtlanacak bir şey yoktur. O halde  $\left\Vert f\right\Vert _{r}<\infty$ ve $\left\Vert f\right\Vert _{s}<\infty$ olduğunu varsayalım. $M=\max \left\{ \left\Vert f\right\Vert_{r},\left\Vert f\right\Vert _{s}\right\}$ koyalım. $r<p<s$ olduğuna göre $t_{1}=\frac{s-p}{s-r}>0$, $t_{2}=\frac{p-r}{s-r}>0$ koyalım. 

$t_{1}+t_{2}=1$ ve $p=t_{1}r+t_{2}s$ dir. O halde Hölder eşitsizliğinden

$\left\Vert f\right\Vert _{p}^{p}=\int\limits_{X}\left\vert f\right\vert^{p}d\mu=$

$\int \limits_{X} \left\vert f\right\vert ^{t_{1}r} \left\vert f\right\vert ^{t_{2}s}d\mu$

$\leq (\int \limits_{X} \left\vert f \right\vert ^{{t_{1}r}  \frac{1}{t_{1}}}) ^{t_1} (\int \limits_{X} \left\vert f \right\vert ^{{t_{2}s}  \frac{1}{t_{2}}}) ^{t_2}$

$=(\left\Vert f\right\Vert _{r})^{t_1}(\left\Vert f\right\Vert _{s})^{t_2}$

$\leq M^{t_1+t_2} =M$

Buradan

 $\left\Vert f\right\Vert _{p}\leq M=\max \left\{ \left\Vert f\right\Vert_{r},\left\Vert f\right\Vert _{s}\right\}$ elde edilir.